Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题，感觉非常亲切，但是笔试中失踪推导不出来后来查了下，原来是Catalan数。悲剧啊，现在整理一下一、Catalan数的定义令h(1)=1，Catalan数满足递归式：h(n) = h(1)h(n-1) + h(2)h(n-2) + ... + h(n-1)h(1)，n>=2该递推关系的解为：h(n) = C(2n-2,n-1)/n，n=1,2,3,...（其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数）
问题描述:12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？
这个笔试题，很YD，因为把某个递推关系隐藏得很深。
问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.
用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.比如000000111111就对应着第一排：0 1 2 3 4 5第二排：6 7 8 9 10 11010101010101就对应着第一排：0 2 4 6 8 10第二排：1 3 5 7 9 11问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排，显然，在这个1之前出现的那些0,1对应的人要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。也就是要求，0的个数大于1的个数。
OK，问题已经解决。如果把0看成入栈操作，1看成出栈操作，就是说给定6个元素，合法的入栈出栈序列有多少个。这就是catalan数,这里只是用于栈，等价地描述还有，二叉树的枚举、多边形分成三角形的个数、圆括弧插入公式中的方法数，其通项是c(2n, n)/(n+1)。
在<<计算机程序设计艺术>>，第三版，Donald E.Knuth著，苏运霖译，第一卷，508页，给出了证明:问题大意是用S表示入栈，X表示出栈，那么合法的序列有多少个(S的个数为n)显然有c(2n, n)个含S，X各n个的序列，剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X，但是违背其它条件)。在任何不允许的序列中，定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置。然后在导致并包括这个X的部分序列中，以S代替所有的X并以X代表所有的S。结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列。反过来，对一垢一种类型的每个序列，我们都能逆转这个过程，而且找出导致它的前一种类型的不允许序列。例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS。这个对应说明，不允许的序列的个数是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。验证：其中F表示前排，B表示后排，在枚举出前排的人之后，对应的就是后排的人了，然后再验证是不是满足后面的比前面对应的人高的要求。

#include <iostream>  
using namespace std;  
  
int bit_cnt(int n)  
{  
    int result = 0;  
    for (; n; n &= n-1, ++result);  
    return result;  
}  
  
int main(void)  
{  
    int F[6], B[6];  
    int i,j,k,state,ok,ans = 0;  
    for (state = 0; state < (1 << 12); ++state)  
    {  
        if (bit_cnt(state) == 6)  
        {  
            i = j = 0;  
            for (int k = 0; k < 12; ++k)  
            {  
                if(state&(1<<k))  
                    F[i++] = k;  
                else  
                    B[j++] = k;  
            }  
            ok = 1;  
            for (k = 0; k < 6; ++k)  
            {  
                if (B[k] < F[k])  
                {  
                    ok = 0;  
                    break;  
                }  
            }  
            ans += ok;  
        }  
    }  
    cout << ans << endl;  
    return 0;  
}  

结果：132
而c(12, 6)/7 = 121110987/(765432) = 132
注意：c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)估计出题的人也读过<<计算机程序艺术>>吧。PS：另一个很YD的问题:有编号为1到n(n可以很大，不妨在这里假定可以达到10亿)的若干个格子，从左到右排列。在某些格子中有一个棋子，不妨设第xi格有棋子(1<=i<=k, 1<=k<=n)每次一个人可以把一个棋子往左移若干步，但是不能跨越其它棋子，也要保证每个格子至多只有一个棋子。两个人轮流移动，移动不了的为输，问先手是不是有必胜策略。三、Catalan数的典型应用：1、括号化问题。矩阵链乘： P=A1×A2×A3×……×An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数： ((())) ()(()) ()()() (())() (()())
2、将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?