2018-10-11

第七章

离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号
- 离散时间点之间的间隔可以相等，也可以不相等
- 一般情况下讨论等间隔信号
离散时间系统：处理离散时间信号的系统
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号
离散信号的表示方法
- 1、 $f(k) <--f(kT)$ ,其中 $k$ 为序号，相当于时间。
- 2、(有序)数列:将离散信号的数值按照顺序排列起来.
  - $f(k) = \{1,0.5,0,25,0.125\}$
  - 时间函数可以表达任意长的离散信号,可以表达单边或双边信号。
  - 数列的方法比较简单,直观,但是只能表示有始
    有限长度的信号.
典型的离散时间信号
- 1、单位抽样值函数:
  - $\delta (k) = \begin{cases} 1 ,& k = 0 \\ 0, &\text{其它} \end{cases}$
  - $f(k)\delta(k) = f(0)\delta(k)$
  - $f(k)\delta(k - k_0) = f(k_0)\delta(k - k_0)$
- 2、单位阶跃函数:
  - $\varepsilon(k) = \begin{cases} 1,& k \geq 0\\ 0,& 其他 \end{cases}$
  - 这个函数与连续时间信号中的阶跃函数 $\varepsilon (t)$ 相似
- 3、单边指数序列：
  - - $a >0$ 时，函数的图像在X轴上方
    - $a <0$ 时，函数的图像在X轴上下方都有
- 4、单边正选序列：
  - $A\cos(\omega_0 k + \phi)\varepsilon(k)$
离散信号的运算
- 1、加法： $f(k) = f_1(k) + f_2(k)$
- 2、乘法: $f(k) = f_1(k)\cdot f_2(k)$
- 3、标量加法： $f(k) = a\cdot f_1(k)$
- 4、移序： $f(k) = f_1(k -n)$ 移序特性和连续时间系统的微分特性更加相似。
线性移不变离散时间系统
- 1、线性离散时间系统
  - 系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统
  - $a_1e_1(k) + a_2e_2(k) \iff a_1r_1(k) + a_2r_2(k)$
- 2、移不变离散时间系统
  - $e(k- n)\iff r(k -n)$
- 3、线性移不变离散时间系统
抽样信号与抽样定理
- 数学上的抽样与脉冲幅度调制的原理相同
- 抽样器及其数学模型
- 抽样：通过一定的装置（等间隔）的抽取原来连续信号的很小的一段。
  - 可以用一个开关信号相乘的数学模型
  - - $\tau \to 0$ 开关函数近似为：
    - $\lim_{\tau \to 0}s(t) = \lim_{\tau \to 0} \sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta{\tau}(t - kT)= \lim_{\tau \to 0} \tau \cdot \delta_T(t)$
    - $s(t)= \sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta (t - kT) = \delta_T(t)$
  - 抽样以后的信号为：
    - - $\sum_{k = -\infty}^{+\infty}f(kT)\delta(t - kT)$
抽样定理
- 抽样信号的频谱：
  - - $F_s(j\omega) = \frac{1}{2\pi}F(j\omega)\ast [\omega_s \sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(\omega - k\omega_s)]$
    - - $\omega_s = \frac{2\pi}{T}$ 抽样角频率
      - 抽样频率 $\omega_s > 2\omega_m$ ,则周期化的各个频谱不会相互重叠
      - 在上述前提下将信号通过一个截止频率为 $\frac{\omega_s}{2}$ ,增益为T的ILPF（低通滤波器），可以不失真的还原信号。
      - 此低通滤波器的冲激响应：
        
        $h(t) = T\frac{\omega_s}{2\pi}Sa(\frac{\omega_c t}{2}) = Sa(\frac{\omega_c t}{2})$
        
        $f(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}f(nt)Sa[\frac{(t - nT)\omega_s}{2}]$
        
        $h(t) = T\frac{\omega_s}{2\pi}Sa(\frac{\omega_c t}{2}) = Sa(\frac{\omega_c t}{2})$
    - $Nyquist$ 抽样定理, $Shannon$ 抽样定理
    - 模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出。
    - 能够完全不失真地还原信号所需要的最小的抽样频率 $\omega_s = 2\omega_m$ 称为 $Nyquist$ 抽样频率，或 $Shannon$ 抽样频率。
    - 实际工程中 $LPF$ ,抽样频率 $\omega_m$ 的3-5倍。
离散时间系统的描述
- 数学模型 --> 差分方程
- 物理模型 -->框图
- 系统函数--> Z.T.
- 1、数学模型：用差分方程描述离散信号相邻的几个时间点之间的关系
  - 差分方程的一般形式
    - $r(k +n) + a_{n-1}r(k + n-1) + ...+a_1r(k + 1) +a_0 r(k) = b_me(k +m) + b_{m-1}e(k +m-1) +...+b_1e(k + 1) + b_0e(k)$
    - 差分方程的阶定义其中最大移序与最小移序之差。
    - 也可以减序表示，但与增序的系数不同
    - 求解差分方程必须有初始条件，初始条件的个数等于差分方程的阶数
- 2、物理模型
  - 基本运算单元
    - 加法器，标量乘法器，延时（移序）器。
离散时间系统的零输入响应
- 1、时域经典法
  - 通解和特解
- 2、近代时域解
  - 解分为零输入响应 $r_{zi}$ 时域经典法，零状态响应 $r_{zs}(k)$ 卷积和求解
  - 引入移位算子S：
    - $S\cdot y(k) = y(k + 1)$
    - - $S^n \cdot r(k) + a_{n-1}S^{n-1}\cdot r(k) +... + a_1S\cdot r(k) +a_0r(k) = b_mS^m\cdot e(k) + b_{m-1}S^{m-1}\cdot e(k) +... + b_1 S\cdot e(k) + b_0e(k)$
      - $r(k) = \frac{b_mS^m +b_{m-1}S^{m-1} +... + b_1S +b_0 }{S^n +a_{n-1}S^{n-1} + a_1S + a_0}e(k)$
      - r(k) = H(S)e(k)
  - 零输入响应的的求法
    - - 一阶响应
        
        $r_{zi}(k + 1) +a_0r_{zi}(k) = 0$
        
        $r_{zi}(k +1) = -a_0r_{zi}(k)$
        
        $r_{zi}(k) = (-a_0)^kr_{zi}(0)$
        
        $S\cdot r(k) +a_0r(k) = 0$
        
        定义特征方程
        
        $S + a_0 = 0$
        
        $S = -a_0$
        
        $r_{zi}(k) = C_1v_1^k + C_2v_2^k + C_3v_3k +......$
      - N阶系统
        
        求特征方程D(S)的根, $v_1,v_2,...,v_n$
        
        根据 $D(S) = 0$ 的根确定特征方程的解
        
        没有重根
        
        $r_{zi}(k) = C_1v_1^k + C_2v_2^k + C_3v_3k + ... + C_n(v_n)^k$
        
        有重根,假设 $v_1$ 是一个m重根
        
        $r_{zi}(k) = [(C_1 + C_2k + ... + C_mk^{m -1})v_1^k + C_{m + 1}v_{m + 1}^k +... + C_nv_N^k]\varepsilon(k)$
        
        带入初始条件,确定待定系数
    - 特征根与系统的稳定性
    - 系统的响应不应该随着而趋向于无穷大
      - 当 $|v|< 1,\lim_{k\to \infty}|v|^k = 0,\lim_{k^m\to \infty}|v|^k = 0$ 系统稳定
      - 当 $|v| = 1$ ,
        
        没有重根 $\lim_{k \to \infty}|v|^k = 1$ 临界稳定
        
        有重根 $\lim_{k \to \infty}k|v|^k = \infty$ 不稳定
      - 当 $|v| > 1$ ,
      - $\lim_{k \to \infty}|v|^k = \infty$ ，不稳定
    - 系统稳定性要求特征根全部在一个以原点为圆心，半径为1的圆,单位圆的内部，在单位圆上最多只能临界稳定。
- 3、变换域解法
  - Z变换（Z.T.）相当于L.T.
- 4、数值解法
  - 利用前向预测的形式的差分方程，通过迭代计算。

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