第一次

1.默写8个基本求导公式
(1) $(C)'=0$
(2) $(x^{\mu})'=\mu x^{\mu-1}$
特别地， $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}$
(3) $(a^x)'=a^x \ln a\quad (a>0)$
(4) $(e^x)'=e^x$
(5)
(6) $(\ln x)'=\frac{1}{x}$
(7) $(\sin x)'=\cos x$
(8) $(\cos x)'=-\sin x$

2.默写四则运算求导法则
$(f+g)'=f'+g'$
$(f-g)'=f'-g'$
$(fg)'=f'g+fg'$
$(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

3.求曲线 $y=2x^2+6x+5$ 在 $(1,13)$ 处的切线方程和法线方程。

$y'=4x+6$
$k_{切}=y'(1)=10$ , $k_{法}=-\frac{1}{k_{切}}=-\frac{1}{10}$

由直线的点斜式方程，
切线方程： $y-13=k_{切}(x-1)=10(x-1)$
法线方程： $y-13=k_{法}(x-1)=-\frac{1}{10}(x-1)$

4.已知 $y=x^3 e^x$ ,求 $y'$

由四则运算求导法则中的乘法求导法则，
$y'=(x^3)'e^x+x^3(e^x)'=3x^2 e^x+x^3 e^x$

5.已知 $y=\sin(3x+5)$ ，求 $\mathrm{d}y$

由微分的定义， $\mathrm{d}y=y'\mathrm{d}x$ ，问题转化为求 $y'$
由复合函数求导法则， $y'=\cos(3x+5)(3x+5)'=3\cos(3x+5)$
因此 $\mathrm{d}y=3\cos(3x+5)\mathrm{d}x$

6.函数在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)=5$ ,求 $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+3\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

记住一般形式的公式：
$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+k\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=kf'(x_0)$

代入 $k=3,f'(x_0)=5$ ，结果为 $15$

7. $f(x)=\sin x$ ,求 $f'(\frac{\pi}{2})$ 和 $[f(\frac{\pi}{2})]'$
$f'(x)=\cos x$ ，因此 $f'(\frac{\pi}{2})=\cos\frac{\pi}{2}=0$
$f(\frac{\pi}{2})= \sin\frac{\pi}{2}=1$ 是常数，由基本求导公式知，常数导数是 $0$ ，因此 $[f(\frac{\pi}{2})]'=0$

第二次

1.有一个边长为 $a$ 的铁皮，从四个角截去大小相同的四个小正方形，做成一个无盖的容器。
问截去小正方形边长为多少时，该容器体积最大？

设截去的小正方形边长为 $x$ ，则容器的底是正方形，边长为 $a-2x$ 。高为 $x$ 。
体积 $V$ 是长宽高之乘积，表示成 $x$ 的函数，
$V(x)=(a-2x)^2 x$ , 定义域 $x\in(0,\frac{a}{2})$
问题转化成了求 $(0,\frac{a}{2})$ 上 $V(x)$ 的最大值。

求导， $V'(x)=2(a-2x)(-2)x+(a-2x)^2=(a-2x)(a-6x)$

驻点 $x=\frac{a}{6},x=\frac{a}{2}$ ，无不可导点。

由于最大值只可能在极大值或端点取到，而极大值只可能在驻点或不可导点取到，对本题而言，最大值只可能在 $x=0,x=\frac{a}{6},x=\frac{a}{2}$ 三处取到。只需比较 $f(0),f(\frac{a}{6}),f(\frac{a}{2})$ 中的最大值即可.

由于端点处 $f(0)=f(\frac{a}{2})=0$ ,因此最大值点就是 $x=\frac{a}{6}$

2.研究函数 $f(x)=(x-1)x^{\frac{4}{5}}$ 的单调区间和极值点.
定义域是 $(-\infty,+\infty)$

$f'(x)=x^{\frac{4}{5}}+(x-1)\frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}} =x^{-\frac{1}{5}}(x+\frac{4}{5}(x-1))=x^{-\frac{1}{5}}(\frac{9}{5}x-\frac{4}{5})$

驻点 $x=\frac{4}{9}$
不可导点 $x=0$
将实轴分割成 $(-\infty,0)$ , $(0,\frac{4}{9})$ 和 $(\frac{4}{9},+\infty)$ 三个区间.
分别研究 $f'(x)$ 在这三个区间上的正负

比如通过代数法,计算 $f'(-1)>0$ ,因此 $(-\infty,0)$ 上 $f'(x)>0$ ,函数增
计算 $f'(\frac{2}{9})<0$ ,因此 $(0,\frac{4}{9})$ 上 $f'(x)<0$ ,函数减
计算 $f'(1)>0$ ,因此 $(\frac{4}{9},+\infty)$ 上 $f'(x)>0$ ,函数增

(自行列出表格)

$f$ 在 $x=0$ 左侧增右侧减,因此 $x=0$ 是极大值点
$f$ 在 $x=\frac{4}{9}$ 左侧减右侧增,因此 $x=\frac{4}{9}$ 是极小值点

3.求曲线 $y=4x^3-6x^2+\frac{x}{3}+1$ 的凸凹区间和拐点.

定义域是 $(-\infty,+\infty)$

$y'=12x^2-12x+\frac{1}{3}$
$y''=24x-12$
$y''=0$ 解得 $x=\frac{1}{2}$
无二阶不可导点.
$x=\frac{1}{2}$ 将实轴分割成两个区间 $(-\infty,\frac{1}{2})$ 和 $(\frac{1}{2},+\infty)$

分别研究 $y''$ 在这两个区间上的正负号
比如通过代数法,计算 $y''(0)=-12<0$ ,因此 $(-\infty,\frac{1}{2})$ 上 $y''<0$ ,函数凸
计算 $y''(1)=12>0$ ,因此 $(\frac{1}{2},+\infty)$ 上 $y''>0$ ,函数凹

(自行列出表格)

在 $x=\frac{1}{2}$ 的左右,函数凸凹性发生变化,因此拐点是 $(\frac{1}{2},y(\frac{1}{2}))$

两次小测答案

两次小测答案

第一次

第二次

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