2019-02-20

第二讲：平面直角坐标系下曲线运动的描述

—— 以圆周运动为例

本次课会涉及下列数学符号 f(x)

$\Delta$ , $\vec{r}$ , $\vec{i}$ , $\frac{x}{y}$ , $\cos(t)$ , $\omega$ , $t_2$ , $t_1$ , $\sqrt{x}$ , $v_x^2$ , $\pi$ , $\neq$

对应的代码为

$\Delta$, $\vec{r}$, $\vec{i}$, $\frac{x}{y}$, $\cos(t)$, $\omega$, $t_2$, $t_1$, $\sqrt{x}$, $v_x^2$, $\pi$, $\neq$

知识点

平面直角坐标系下的矢量

$\vec{f}=f_x\vec{i}+f_y\vec{j}$

有大小，有方向。大小为 $f=|\vec{f}|=\sqrt{f_x^2+f_y^2}$

我们约定，小写字母 $f$ 都是对应的矢量 $\vec{f}$ 的大小。
位矢 $\vec{r}$ ，速度 $\vec{v}$ , 加速度 $\vec{a}$

$\vec{r}=4t\vec{i}-\frac{1}{2}gt^2\vec{j}$

则速度 $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=4\vec{i}-gt\vec{j}$

加速度 $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=-g\vec{j}$

借助速度和加速度，我们可以对运动情况进行分析：该运动为水平速度恒定，竖直方向加速度恒定的运动。
轨迹方程 关于 $y(x)$ 的方程，不关心时间。
- 写成分量式
  $\begin{cases} x=4t & ,\\ y=-\frac{1}{2}gt^2 & , \end{cases}$
- 消元法除掉 $t$ ，只得到 $y(x)$ 即可。
位矢的大小 $r$ ，速率 $v$ ，加速度的大小 $a$

例子：

$\vec{r}=3t^2\vec{i}+3\sin(4t)\vec{j}$ ，求 $\vec{v}(t)$ , $v(t)$ , $a(t)$ , 以及何时加速度最大。

$\vec{v}=6t\vec{i}+12\cos 4t \vec{j}$

$v=\sqrt{36t^2+144(\cos 4t)^2}$

$a\neq\frac{dv(t)}{dt}$ 对吗？~~不对！反例：匀速率圆周运动。~~
- $a=|\frac{d\vec{v}(t)}{dt}|$
**一段时间的路程 $\Delta s$ ，半径的增量 $\Delta r$ ，位移 $\Delta \vec{r}$ **
- $\Delta s$ 的几何意义：起点、终点间轨迹的长度
- $\Delta \vec{r}$ 的几何意义：起点指向终点的有向线段
- $\Delta r$ 的几何意义：与原点间距离的增量
- $\Delta S \ge |\Delta \vec{r}|$
  - 等号成立的条件：
    - 极限情况 $dS = |d\vec{r}|$
    - 单向直线运动
曲线运动的加速度 $\vec{a}$
- 匀速圆周运动的加速度
  - 向心加速度，或法向加速度，符号 $a_n$ 。作用是改变速度的方向。
- 直线运动的加速度
  - 切向加速度。符号 $a_t$ 。作用是改变速度的大小。
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=a_n \vec{e}_n + a_t \vec{e}_t=\frac{v^2}{R} \vec{e}_n + \frac{dv}{dt} \vec{e}_t$
- 一般曲线运动的加速度表达式
  - 加速度的大小
  - 曲率半径

表达题

设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度、速率为

解答：

运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t & , \end{cases}$
则轨迹方程， $t$ 时刻的速度与速率

解答：

速度的表达式为 $\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}$ ，初学者可能误认为对于任意时刻 $t_{0}$ 有 $\vec{v}(t_{0})=\frac{d\vec{r}(t_{0})}{dt}$ ，这是错误的。这只是一个记号，它的真实含义是任意时刻 $t_{0}$ ， $\vec{v}(t_{0})=\frac{\vec{r}(t_{0}+dt)-\vec{r}(t_{0})}{dt}$ ，实际运算中用求导法则计算。比如，已知质点的运动方程为 $\vec{r}(t)=2t\vec{i}+(4-t^{2})\vec{j}$ ，则 $t=2$ 时刻位矢为 $\vec{r}(2)=4\vec{i}$ , 那么 $t=2$ 时刻的速度呢？ $\vec{v}=\frac{d(4\vec{i})}{dt}=0$ 吗？遵循这一思路，请求出该质点在 $t=2$ 时刻的加速度

解答： $\vec{a}=-2\vec{j}$

理解抽象符号是深入学习的必备条件之一。一个质点，在 $t$ 时刻位矢为 $\vec{r}$ ,离开原点的距离为 $r$ (简称半径，大小为 $r=|\vec{r}|$ )；在 $t'$ 时刻位矢为 $\vec{r}'$ ,离开原点的距离为 $r'$ ；在 $t$ 至 $t'$ 时间内：走过的路程(轨迹的长度)为 $\Delta s$ , 位矢的增量(末态-初态,简称位移)为 $\Delta\vec{r}=\vec{r}'-\vec{r}$ ，半径的增量为 $\Delta r$ ( 末态-初态，大小为 $\text{Δ}r=r'-r$ )。设一个质点以坐标原点为圆心、以1为半径，做逆时针的圆周运动， $t$ 时刻在(1,0)位置， $t'$ 时刻第一次转到(0,1)位置。则这短时间内的 $\Delta s$ 、 $\text{Δ}\vec{r}$ 、 $\Delta r$ 分别为

解答：

一运动质点在某瞬时的位矢为，对其速度的大小为
- (1) $\frac{dr}{dt}$ ；
- (2) $\frac{d|\vec{r}|}{dt}$ ；
- (3) $\frac{ds}{dt}$ ；
- (4) $\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}$ .

上述判断正确的是

解答：==tip: 遇见绕来绕去的概念，请结合简单的模型(直线运动，匀速圆周运动)等情况来判断==

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解： $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$ 借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
(1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
(2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
(3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
(4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
变速圆周运动的质点，
(5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
(6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ 不就是高中学过的向心加速度嘛。
上述判断正确的为

解答：

质点作曲线运动，对下列表述中，
- (1) $dv/dt=a$ ；
- (2) $dr/dt=v$ ；
- (3) $ds/dt=v$ ；
- (4) $|d\vec{v}/dt|=a_{t}$ ．
  
  正确的是(　　)

解答：==tip: 遇见绕来绕去的概念，请结合简单的模型(直线运动，匀速圆周运动)等情况来判断==

一个质点在做圆周运动时,则下列说法正确的是( )
- 切向加速度一定改变,法向加速度也改变
- 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变
- 切向加速度可能不变,法向加速度不变
- 切向加速度一定改变,法向加速度不变

解答：

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：

法向加速度和切向加速度的核心公式是需要记忆的： $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ 和 $a_{t}=\frac{dv}{dt}$ 。质点沿半径为 $R$ 的圆周运动，其角位移随时间 $t$ 的变化规律是 $\theta=2+4t^{2}$ 。在 $t=1$ 时，它的法向加速度和切向加速度分别为( )