第二章抓住特征研究整除
掌握分类熟练运用
这一章主要研究在整除的情况下,研究能被2、3、5整除数的特征;研究约数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、互质数、质因数、公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数的概念和性质;熟练地应用它们解题的技能和技巧。
第一节抓住整除概念弄清约数倍数
研究整除特征认识奇数偶数
一、什么叫整除?
整数a除以整数b(b≠0),除的商正好是整数而没有余数,我们就说a能被b整除或者说成b能整除a。如:
18÷6=3,就是18能被6整除,或者说成6能整除18.
掌握以下四点:
1、被除数和除数(0除外)都是整数;
2、所得的商正好是整数
3、没有余数,即余数为0;
4、弄清整除与除的尽的区别;
二、什么叫倍数?什么叫约数?
如果说a能被b(b≠0)整除,a叫做b的倍数,b叫做a的约数(或a的因素)。
如:15÷3=5,15是3的倍数, 3是15的约数
掌握以下三点:
1、是在整除的情况下,研究倍数和约数的概念;
2、倍数和约数是相互依存的,不是单独存在的;
3、在研究倍数和约数时,一般指自然数,不包括0.
三..数的整除性质
性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的 和与差 也能被c整除。
即:如果a能被c整除,b能被c整除,那么(a±b)能被c整除。
例如:如果10÷2=5,6÷2=3,那么(10+6)能被2整除;
性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果bc能被a整除,那么b能被a整除,c也能被a整除;
性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积 能被a整除;
即:如果a能被b整除,a能被c整除,且b.c互质,那么a能被bc整除。
例如:如28÷2=14,28÷7=4,那么28能被(2×7)整除。
性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即:如果c÷b,b÷a,那么c÷a。
例如:如果9÷3=3,27÷9=3,那么27÷3=9。
四.数的整除特征
(1)能被2整除 的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.
如:10 ,52, 474, 26, 78……都能被2整除。
“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。
(2)、什么叫偶数?什么叫奇数?
能被2整除的数叫偶数,不能被2整除的数叫奇数。
如:2,4,6,8,10,32,44,106,138…….都是偶数。
1, 3, 5 7, 9,11,23,65,107,429……都是奇数。
明确以下三点:
①换句话说,个位上是0.2.4.6.8的数叫偶数;偶数能被2整除;
②换句话说,个位上是1.3.5.7.9的数叫奇数,奇数不能被整除;
③因为0能被2整除,所以0也是偶数;
(3)能被5整除 的数的特征:个位是0或5。
如:10.、20、35、85、690…….都能被5整除。
(4)能被3(或9)整除 的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。
153因为1+5+3=9,9能被3整除,所以153也能被3整除。
279因为2+7+9=18,18能被9整除,所以279也能被9整除
1248621各位上的数字之和是
1+2+4+8+6+2+1=24, 24÷3=8,那么1248621能被3整除;
又如,372681各位上的数字之和是
3+7+2+6+8+1=27,27÷9=3,那么372681能被9整除;
(5)能被4(或25)整除 的数的特征:一个数,当且仅当它的末两位数能被4(或25)整除时,这个数便能被4或25整除
例如:1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数.又因为4|64,所以1864能被4整除.但因为2564,所以1864不能被25整除.
173824的末两位为24,24÷4=6;则173824能被4整除;
43586775的末两位是75,75÷25=3,则43586775能被25整除;
(6)能被8(或125)整除 的数的特征:一个数,当今当它的末三位数字为0,或者末三位数能被8(或125)整除时,这个数字能被8或125整除。
例如:32178000的末三位数字为0,这个数字能被8或125整除;
3569824的末三位数位824,824÷8=103,则,3569824能被8整除;
214813750的末三位数为750,750÷125=6,则,214813750能被125整除;
29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为125|375,所以29375能被125整除.但因为8375,所以829375。
(7)能被7.11.13整除 的数的特征:
一个数,当且仅当它的末三位数字所表示的数,与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7.11.13整除时,这个数就能被7.11.13整除。
例如:75523的末三位为523,末三位以前的数字所表示的数为75,523-75=448,448÷7=64,即448能被7整除,则,75523能被7整除;
又如,1095874的末三位为874,末三位以前的数字所表示的数为1095,1095-874=221,221÷13=17,即221能被13整除,则,1095874能被13整除;
再如:,868967的末三位为967,末三位以前的数字所表示的数为868,967-868=99,99÷11=9,即99能被11整除,则,868967能被11整除;
此外,能被11整除的数的特征,还可以这样叙述:
该数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。
例1:判断123456789这九位数能否被11整除?
解:这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5,又因为5不能被11整除,所以123456789不能被11整除。
例2:判断13574是否是11的倍数?
解:这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数,所以0÷11=0.因此13574是11的倍数。
(8)能被7(11或13)整除 的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
例1:判断1059282是否是7的倍数?
解:把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282=777,又777÷7=111,所以1059282能被7整除.因此1059282是7的倍数。
例2:判断3546725能否被13整除?
解:
把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又819÷13=63,所以2821÷13=217,进而354672能被13整除
第二节认识质数与合数掌握分解质因数
一、认识质数与合数、
1、写出下面每个数的所有的约数
1的约数有: 1 ; 7的约数有:1,7;
2的约数有: 1,2 ; 8的约数有:1,2,4,8;
3的约数有: 1,3 ; 9的约数有:1,3,9 ;
4的约数有: 1,2,4; 10的约数有:1,2,5,10;
5的约数有: 1,5 ; 11的约数有:1,11 ;
6的约数有: 1,2,3,6; 12的约数有:1,2,3,4,6,12;
2、观察上面各数的约数的个数:
1个约数的数有 :1
有2个约数的数有 :2,3,5,7,11
有2个以上约数的数有:4,6,8,9,10,12
3、什么叫质数?
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫质数(或素数)。
如:2,3,5,7,11……都是质数。质数的个数是无限的
4、什么叫合数?
一个数,除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫合数。
如:4,6,8,9,10……都是合数;
①合数的个数是无限的;
②1不是质数,也不是合数;
二、分解质因数
1、什么叫质因数?
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因素,叫做这个合数的质因数。
如:60=2×2×3×5,其中的2,2,3,和5叫做60的质因数。
2、什么叫做分解质因数?
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数
①把一个合数进行分解 ; ②每个因素一定是质数;
3、怎样分解质因数?
①把一个合数分解质因数,先用一个能够整除这个合数的质数去除;
②通常按2,3,5,7,11,13,19……的顺序去试除;
③得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式;
④如果得出的商是合数,继续用质数除下去,直到得出的商是质数为止;
⑤最后,把所有的除数和商写成连乘的形式。
第三节公约数和最大公约数
一、认识公约数和最大公约数。
1、8和12各有哪些约数?它们的公约数是哪几个?最大的公约数是多少?
①8的约数有1,2,4,8 ; ②12的约数有1,2,3,4,6,12;
③它们的公约数有1,2,4; ④它们的最大公约数是:4;
2、什么叫公约数?什么叫最大公约数?
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大一个,叫做这几个数的最大公约数
3、什么叫互质数?
公约数只有1的两个数,叫做互质数。
如:8和9,7和11……叫做互质数
二、求最大公约数
1、求最大公约数的方法
求两个数的最大公约数,一般先用这两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得到的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来。
2∣12 2012和20的最大公约数是2×2=4
2∣ 6 10①一般先用2,3,5,7,11……去试除;
3 5②在除的过程中,有时也可以用两个数的公约数去除;
③除到所得到的商是互质数为止;
④最后,把所有的除数连乘起来的积,就是两个数的最大公约数
2、如果小数是大数的约数,那么小数就是这两个数的最大公约数。
如:4合8的最大公约数就是4.
3、如果两个是互质数,它们的最大公约数就是1
如:7和19的最大公约数就是1.
4、用“辗转相除”法,求两个数的最大公约数
①用小数去除大数; ②再用余数去除较小的数;
③这样辗转相除,直到余数为0为止;
④最后得除数就是这两个数的最大公约数;
如:求54和21的最大公约数
∣54 21∣
2 ∣42 12∣ 1
∣12 9∣
1 ∣9 9 ∣ 3
∣3 0 ∣
所以54和21的最大公约数是3
第四节公倍数和最小公倍数
一、认识公倍数和最小公倍数
1、分别顺次写出2和3的几个公倍数,它的公倍数是几个?其中最小的一个是多少?
①2的倍数有:2,4,6,8,10,12,14,16,18……
②3的倍数有:3,6,9,12,18……
③2和3的公倍数有:6,12,18……
④其中最小的一个是6
2、什么叫公倍数?什么叫最小公倍数?
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做最小公倍数;①几个数只有一个最小的公倍数 ②几个数没有最大的公倍数
二、求最小公倍数
1、求最小公倍数的方法
求两个数的最小公倍数,先用这两个数公有的质因数连续去除(一般从最小的开始),一只除到所得到的商是互质数为止,然后把所有的除数和商连乘起来;
如:24和72的最小公倍数是多少 ?
2∣ 24 72
2∣12 36
2∣6 18
2∣3 9
3∣1 3
24和72的最小公倍数是2×2×2×3×1×3=72
①先用这两个数公有质因数连续去除;
②一般采用2,3,5,7……去试除
③在除的过程中,有时也可以用两个数的公约数去除;
④必须出的所得到的商是互质数为止;
⑤最后,把除数和所得的商连乘起来的积,就是所求的最小公倍数。
2、求三个数的最小公倍数
如:求4、6和8的最小公倍数是多少?
2∣4 6 8
2∣ 2 3 4
1 3 2
4、6和8的最小公倍数是2×2×1×3×2=24
①先用三个公有的质因数去除;
②再用两个公有的质因数去除;
③在除的过程中,有时也可以用它们的公约数去除;
④必须出的所得到的商是互质数为止;
⑤最后,把除数和所得的商连乘起来的积,就是三个数的最小公倍数;
3、如果大数是小数的倍数,那么大数就是这两个数的最小公倍数。
如:12和6,12就是它们的最小公倍数,
4、如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数
如:7和9的最小公倍数为7×9=63
三、求最大公约数和最小公倍数的区别:
1、相同点:都是用短除法的形式分解质因数,直到商是互质数为止;
2、求最大公约数只把除数连乘起来
3、求最小公倍数把除数和最后的商连乘起来;