2021-06-02 离散型随机变量及其分布列知识点

离散型随机变量及其分布列知识点

随机变量
- 离散型
  - 随机变量可以逐一列出
- 连续型
分布列
- 随机变量与其概率之间的对应关系
- 表现形式可以是列表、表达式、图形、特定符号
- 分布列的性质
  - 概率之和等于 $1$ ，即 $\sum_{i=1}^n {P_i}=1$
  - $P_i \ge 0$ ， $i = 1,2,3,\cdots$
超几何分布

从 $N$ 件产品中选择若干件正品、次品的实验模型

二点分布
- 只有两种结果的随机实验
- 又称0-1分布、伯努利分布
- 数学期望 $E(x)=p$
- 方差 $D(x)=p(1-p)$
二项分布
- 条件概率 $P(B|A)=\cfrac {P(AB)}{P(A)}$
- 独立事件 $P(AB)=P(A)P(B)$
- 独立重复实验
- 二项分布的记法
  - 列表
  $X$ $0$ $1$ $2$ $\cdots$ $n$
  
  $P$ $C_n^0 p^0 (1-p)^{n}$ $C_n^1 p^1 (1-p)^{n-1}$ $C_n^2 p^2 (1-p)^{n-2}$ $\cdots$ $C_n^n p^n (1-p)^{0}$
  - 公式 $P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
  - 符号表示 $X \sim B(n,p)$
- 数学期望 $E(x)=np$
- 方差 $D(x)=np(1-p)$
正态分布 $X \sim N({\mu},{\sigma}^2)$
- 均值为 $\mu$ ，方差为 $\sigma$
- $P(a<X{\le}b)={\int}_a^b{\phi}_{\mu , \sigma}(x)dx$
- 正态密度曲线六个重要性质
  - 曲线总在 $x$ 轴上方，与 $x$ 轴不相交
  - 曲线是单峰的，它关于直线 $x=\mu$ 对称
  - 曲线在 $x=\mu$ 处达到峰值 $\cfrac 1{\sigma \sqrt {2\pi}}$
  - 曲线与 $x$ 轴之间的面积为 $1$
  - 当 $\sigma$ 一定时，曲线的形状由 $\mu$ 确定，曲线的位置随着的变化而沿着 $x$ 轴平移
  - 当 $\mu$ 一定时，曲线的形状由 $\sigma$ 确定， $\sigma$ 越小，曲线越瘦高， $\sigma$ 越大，曲线越矮胖
数学期望
- 随机变量的加权平均数，即 $E(x)=\sum_{i=1}^n x_ip_i$
- 数学期望表示随机变量的均值
方差
- 随机变量与数学期望差的平方的加权平均数，即 $D(x)=\sum_{i=1}^n {(x_i-E(x))^2}p_i$
- 方差表示随机变量偏离均值的平均程度

$X$	$0$	$1$	$2$	$\cdots$	$n$
$P$	$C_n^0 p^0 (1-p)^{n}$	$C_n^1 p^1 (1-p)^{n-1}$	$C_n^2 p^2 (1-p)^{n-2}$	$\cdots$	$C_n^n p^n (1-p)^{0}$

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