2021-06-02 离散型随机变量及其分布列知识点

离散型随机变量及其分布列知识点

  1. 随机变量

    • 离散型

      • 随机变量可以逐一列出

    • 连续型

  2. 分布列

    • 随机变量与其概率之间的对应关系

    • 表现形式可以是列表、表达式、图形、特定符号

    • 分布列的性质

      • 概率之和等于1，即\sum_{i=1}^n {P_i}=1
      • P_i \ge 0，i = 1,2,3,\cdots

  3. 超几何分布

  • 从N件产品中选择若干件正品、次品的实验模型

  1. 二点分布

    • 只有两种结果的随机实验

    • 又称0-1分布、伯努利分布

    • 数学期望E(x)=p

    • 方差D(x)=p(1-p)

  2. 二项分布

    • 条件概率P(B|A)=\cfrac {P(AB)}{P(A)}

    • 独立事件P(AB)=P(A)P(B)

    • 独立重复实验

    • 二项分布的记法

      • 列表
      X 0 1 2 \cdots n
      P C_n^0 p^0 (1-p)^{n} C_n^1 p^1 (1-p)^{n-1} C_n^2 p^2 (1-p)^{n-2} \cdots C_n^n p^n (1-p)^{0}

      • 公式 P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}

      • 符号表示 X \sim B(n,p)

    • 数学期望E(x)=np

    • 方差D(x)=np(1-p)

  3. 正态分布 X \sim N({\mu},{\sigma}^2)

    • 均值为\mu，方差为\sigma
    • P(a<X{\le}b)={\int}_a^b{\phi}_{\mu , \sigma}(x)dx
    • 正态密度曲线六个重要性质
      • 曲线总在x轴上方，与x轴不相交
      • 曲线是单峰的，它关于直线x=\mu对称
      • 曲线在x=\mu处达到峰值\cfrac 1{\sigma \sqrt {2\pi}}
      • 曲线与x轴之间的面积为1
      • 当\sigma一定时，曲线的形状由\mu确定，曲线的位置随着的变化而沿着x轴平移
      • 当\mu一定时，曲线的形状由\sigma确定，\sigma越小，曲线越瘦高，\sigma越大，曲线越矮胖

  4. 数学期望

    • 随机变量的加权平均数，即E(x)=\sum_{i=1}^n x_ip_i

    • 数学期望表示随机变量的均值

  5. 方差

    • 随机变量与数学期望差的平方的加权平均数，即D(x)=\sum_{i=1}^n {(x_i-E(x))^2}p_i

    • 方差表示随机变量偏离均值的平均程度

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