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----《数学文化教程》摘录笔记四

大寨一中  高元节

数学应用例题

数学与民主投票

民主选举的最基本的原则是“少数服从多数”，即获得最多选票的人（或计划、行动等）当选。（229页）

西方国家许多实行多党制，在议会里政党都有不同数额的席位。各政党未必可以单独取得多数，上台执政。（234页）

数学最优化例谈

最短线问题

人事指派问题，0-1规划一例（236-237页）

田忌赛马和对策论

1.竞争是当代社会的一个特征。在竞争中讲究科学的对策是十分重要的。经济活动中的经验决策、市场竞争，政治活动中的竞标、竞选、谈判、联盟，军事活动中对抗、谋略等，都和选择合适的对策有关。（239页）

2.公平比赛条件应该是：齐威王和田忌双方都清楚各自马的实力和对方的实力，每个人都可以按自己的意愿决定自己马匹出场的次序，而两人出马的对策应该是同时，不能总让某个人先出马。（240页）

第四节  算法复杂性：

        计算机的速度还太慢！

1.为了谈论方便起见，我们假定计算机的储存量足够大，运算时间任意长，计算精度也足够保证问题的要求，这样“理想”的计算机为图灵机。在图灵机解题，计算机时间的长短主要与以下因素有关：

（1）计算机的速度；

（2）实际问题规模的大小；

（3）算法的选择。

2.大多数的指数型算法，只是穷举搜索法的变种。只有对问题的结构充分了解后，才有可能给出多项式算法。解决实际问题时，当然要寻求多项式算法。但如果一个问题已经被证明没有多项式算法，再寻找精力就白费了，因此有必要对实际问题进行分类。（245页）

第五节  金融数学“华尔街革命”

1.侠义的金融学是指金融市场的经济学。（247页）

2.把金融市场用这种方式混同于普通商品市场是不合适的。原因在于掩盖了金融市场的不确定性本质。尤其是其中隐含着对每一种可能发生的状态都有相应的证券相对应，如同每一种可能有的金融风险都有保险那样，与现实相差太远。（247-248页）

3.经济学家又为金融学寻求其他的数学架构。用新的数学来架构的现代金融学被认为是两次“华尔街革命”的产物。（248页）

第六节  微分几何与规范场：

              陈省身和杨振宁的科学会师

1.杨振宁说：“这即使我震惊，也令我迷惑不解，因为你们数学家能够凭空地梦想出这些概念。”陈省身马上提出异议：“不，不，这些概念不是梦想出来的。它们是自然的，也是实在的。”（252页）

2.自然界的奥秘，隐藏在人类已有认识之外。科学的原始问题，恰如地质家在茫茫沙漠中找石油，考古学家在广袤大地上寻找古代文化遗存，抑或比喻为探索黑暗中的一头大像，事先不知道它的存在，更无法看见它的全貌。（253页）

3.杨振宁在谈到成功的原因时说：“除了机遇和环境之外，似乎有两个原因是主要的。一个是：面对物理学中的原始问题，不要淹没在文献的海洋里。另一个是，物理学研究不要排斥数学，要成功地运用数学。”（254页）

4.陈省身和杨振宁，能够取得科学上的巨大成功，是和他们那个时代以及他们的人生感悟、科学抱负、学术环境密切相关的。（254页）

5.什么是他们进行科学攀登的原动力，能够具备面对原始问题的勇气呢？原因很多，一个根本的动力，恐怕要归因于他们的爱国情结。（254页）

6.杨振宁曾经说过：“我一生最终的贡献是帮助改变了中国人觉得自己不如人的心理作用。”陈省身对此深有同感：“过去总认为中国人在科学上不如中国人，我的微博贡献是要把它改过来。外国人能够做的，我也能做到，做的一样好。”（255页）

第九章  现代数学重大时间综述

第一节  从勾股定理到费马大定理

1.勾股定理是数学中最不寻常的一条定理，首先，它是最古老和影响最广泛的定理：四千多年前的巴比伦人已经知道它，三千多年前中国 周代人商高也知道它，两千六百多年前古希腊人毕达哥拉斯知道并且能够证明它。在西方，它被称为毕达哥拉斯定理。其次，它是仅有的、兼具几何和算术的基本定理。（259页）

2.库默的“理想”理论堪称是19世纪最重要的代数成就之一。在其基础上，又诞生了分圆域论、代数数论、类域论等一系列20世纪代数学热门分支，这些都属于费马大定理所产下的金蛋。（262页）

3.1994年9越19日，他（怀尔斯）突然有灵感：想出了一个绕过漏洞，不全证明的绝妙方法。这一次，他真的成功了。现代数学史上最古老的一个难题，终于被完全破解！很快，他的100多页长的论文被几位国际权威专家审查通过，在一国际顶级的数学杂志上正式发表。（264页）

4.怀尔斯在接受媒体采访时坦陈，在经过长达八年夜以继日的艰苦工作而取得成功之后，他有着巨大的成就感和精神自由感；同时感到有点忧伤和悲哀：我们从此失去了那件东西，它曾经长期伴随着我们，是我们儿时的梦想，并把我们带进了数学。（264页）

第二节  破解拓扑学世纪之谜：

庞加莱猜想的证明历程

1.庞加莱在他的开创性论文中，提出了这样一个问题：

  一个闭的三维几何图形，若其上的每条闭曲线都可以连续收缩到一个点，那么从拓扑上来看，这个图形是否一定是球面？

这就是著名的庞加莱猜想，在整个20世纪，经受了数学家们整整100年的轮番冲击。（265页）

2.经过3年的努力，到了2006年，朱熹平和曹怀东合作的长达592页的论文，田刚和摩根的473页论文，以及克莱恩和洛特的192页论文先后发表。这几位一流数学家的详尽工作得出了相同的结论，即佩雷尔曼的结果是正确的。（269页）

第三节 第二次世界大战中的数学密码学

1.密码术在古代的保密通信技术中并不占很重要的地位，也没有对战争的胜负产生决定性影响。因为那时异地通信的主要方式是采用文字书信，只要能够防止有关书信落入敌人手中，文字不加密也不会有大问题。（271页）

2.“隐秘”是世界上第一台电气机械装置的密码机，其形状如同一台打印机。（272页）

3.他们做出了一个很有远见的决定：培养数学专业的学生来帮助破解的多人的密码。当时的这种做法实属一项创新举动，因为那时人们都认为破译密码不需要多少数学知识。许多国家都请语言分析专家、纵横字谜高手和国际象棋冠军来破译密码，很少找专业的数学家帮忙。后来的事实证明，只有采用数学方法，才能对付“隐秘”这样的密码。（274页）

4.波兰人的成功终于让英国人认识到，要破解像“隐秘”这样的现代密码，数学家才是最合适的人选。（280页）

第四节  开创数字时代“仙农创立信息论”

1.21世纪是信息时代，也被称为数字时代，因为这一时代的基本特征就是信息的数字化：各种信息被转化成一串串二进制数，它们储存在光电磁介质中，然后由功能强大的计算机处理，并通过四通八达的通信网络传送，使我们的世界发生奇妙的变化。（284页）

2.图像、声音和影视信息的数字化要比文字信息化更困难。特别是影视信息，如果直接用二进制数来表示，那么产生的数据量之大，会给进一步处理和利用带来许多麻烦。（289页）

第五节  维纳与他的控制论

1.机械自动化的最高境界当然是制造能和人一样思考和行动的机器人。（292页）

2.学习就是获取知识，而知识也是一种信息。（295页）

3.维纳同时指出，新的工业革命是一把双刃刀，它可以用来为人类造福，也可以毁灭人类。确实，自动化提高了工作效率，节省了人类的时间和精力，但它同时也带来了一系列问题:全面实行自动化是否造成大规模的失业？那些因自动化而失去原有工作的人群将怎么安排？如果所有的事情都可以让机器人来做，而且做的比人还要好，那么人的存在还有什么意义？（296页）

4.特别是机器人与人类的关系问题，正在如意受到关注：如果机器人有了情感，并且有了自我意识，那么，它们是否该做人类合法的努力？还是允许它们与人类平等相处并享有“人”权？抑或它们竟会反过来，称为人类的主人？（286页）

第六节  数学证明的机械化之路

1.一般认为，数学证明是头脑思维的产物。（300页）

2.学习和研究数学的任务可以分为两大类：证明数学命题和解数学方程。（300页）

3.中学生都体会到，初等几何的证明是对智力的一大挑战。（305页）

4.吴文俊认为现代数学也应该走这样的道路：即不管是数学计算还是数学证明，都应该致力于找到适当的机械化程序，从而能够借助于越来越强大的计算机来解决问题。（306页）

第七节  重建人体内部的三维图像

----计算机X射线断层成像（CT）的数学理论

1.今年诺贝尔生理学或医学奖的两位获奖者都不是医学专家，然而它们在医学领域掀起了一场革命......他们发明的计算机辅助X涉嫌成像技术，使医学如同进入了太空时代。（309页）

2.CT是借助于一种叫“拉东变换”的数学理论。（309页）

第八节  攻克斯坦纳

                  三元系大集的百年难题

1.组合数学是一门古老的学问。主要研究离散对象（通常是有限个）按一定的规则进行组合或排列的问题。

2.陆家羲在论文中巧妙地建立了一些基于素数因子的递归关系，并精心设计了一个等价的正交拉丁方系，最后终于基本解决了这个已有130多年历史的斯坦纳三元系大集问题。（317页）

3.一名普通的中学物理教师竟然解决了组合数学中的百年难题，陆家羲在中国数学界引起了轰动。（317页）