1.3 向量方程（线性代数及其应用-第5版-系列笔记）

内容概述

本节首先以 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{R}^3$ 空间为例，引入了向量的概念、向量的几何表示，并介绍了向量的一些基本运算和性质，例如向量的加法和标量乘法、交换律、结合律等。接着引入了线性组合的概念，并将线性组合和线性方程组结合了起来。

$\mathbb{R}^2$ 中的向量

仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量。举例如下：
$\boldsymbol u = \begin{bmatrix}1 \\2 \end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol v = \begin{bmatrix}0.2 \\0.3 \end{bmatrix}$
所有两个元素的向量的集记为 $\mathbb{R}^2$ ， $\mathbb{R}$ 表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素。
$\mathbb{R}^2$ 中两个向量相等当且仅当其对应元素相等，因为 $\mathbb{R}^2$ 中的向量是实数的有序对。

给定 $\mathbb{R}^2$ 中两个向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ ，它们的和 $\boldsymbol u+\boldsymbol v$ 是把 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 对应元素相加所得的向量。例如， $\boldsymbol u = \begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}$ 和 $\boldsymbol v = \begin{bmatrix}2\\ 5 \end{bmatrix}$ 两个向量的和是 $\boldsymbol w = \begin{bmatrix}3\\ 7 \end{bmatrix}$

给定向量 $\boldsymbol u$ 和实数 $c$ ， $\boldsymbol u$ 与 $c$ 的标量乘法是把 $\boldsymbol u$ 的每个元素乘以 $c$ ，所得向量记为 $c \boldsymbol u$ 。
例如，
若
$\boldsymbol u=\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad c = 5$
则
$c \boldsymbol u = 5\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 15 \\ -5 \end{bmatrix}$

$\mathbb{R}^2$ 的几何表示

因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把集合点 $(a, b)$ 与列向量 $\begin{bmatrix} \boldsymbol a \\ \boldsymbol b \end{bmatrix}$ 等同。因此，可把 $\mathbb{R}^2$ 看作平面上所有点的集合。
若 $\mathbb{R}^2$ 中向量 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 用平面上的点表示，则 $\boldsymbol u + \boldsymbol v$ 对应于以 $\boldsymbol u$ , $\boldsymbol 0$ 和 $\boldsymbol v$ 为三个顶点的平行四边形的第4个顶点。

平行四边形法则.png

$\mathbb{R}^3$ 中的向量

$\mathbb{R}^3$ 中的向量是 $3 \times 1$ 列矩阵，有3个元素，它们表示三维坐标空间中的点，或起点为原点的箭头。

R3中的向量.jpg

$\mathbb{R}^n$ 中的向量

若 $n$ 是正整数，则 $\mathbb{R}^n$ 表示所有 $n$ 个实数数列（或有序 $n$ 元组）的集合，通常写成 $n \times1$ 列矩阵的形式，如：
$\boldsymbol u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ ... \\ u_n \end{bmatrix}$
所有元素都是零的向量称为零向量，用 $\boldsymbol 0$ 表示（ $\boldsymbol 0$ 中元素的个数可由上下文确定。）
下列是 $\mathbb{R}^n$ 中向量的代数性质：

$\boldsymbol u + \boldsymbol v$ = $\boldsymbol v + \boldsymbol u$
$(\boldsymbol u + \boldsymbol v) + \boldsymbol w = \boldsymbol u + (\boldsymbol v + \boldsymbol w)$
$\boldsymbol u + \boldsymbol 0 = \boldsymbol 0 + \boldsymbol u = \boldsymbol u$
$\boldsymbol u + (\boldsymbol {-u}) = -\boldsymbol u + \boldsymbol u = \boldsymbol 0$
$c(\boldsymbol u +\boldsymbol v) = c\boldsymbol u + c\boldsymbol v$
$(c + d)\boldsymbol u = c\boldsymbol u + d\boldsymbol u$
$c(d\boldsymbol u) = (cd)\boldsymbol u$
$1\boldsymbol u = \boldsymbol u$

线性组合

给定 $\mathbb{R}^n$ 中向量 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 和标量 $c_1, c_2,\cdots, c_p$ ，向量
$\boldsymbol y=c\boldsymbol v_1 + \cdots +c_p\boldsymbol v_p$
称为向量以 $c_1, c_2,\cdots, c_p$ 为权的线性组合。
从几何上来说，线性组合可以认为是不同向量拉伸和压缩之后的和。

线性组合的几何意义.jpeg

下面的例子把线性组合与前面几节（1.1节、1.2节）的存在性问题联系起来。
设 $\boldsymbol a_1 = \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ -5\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol a_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol b = \begin{bmatrix}7 \\ 4 \\ -3\end{bmatrix}$ ，确定 $\boldsymbol b$ 能否写成 $\boldsymbol a_1$ 和 $\boldsymbol a_2$ 的线性组合，也就是说，确定是否存在 $x_1$ 和 $x_2$ ，使得
$x_1\boldsymbol a_1 + x_2\boldsymbol a_2 = \boldsymbol b$
若该向量方程有解，求它的解。
解：该向量方程可以写为：
$\begin{bmatrix}x_1 + 2x_2 \\-2x_1 + 5x_2 \\-5x_1 + 6x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7\\4 \\-3\end{bmatrix}$
写成矩阵形式为：
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ -2 & 5 & 4 \\ -5 & 6 & -3 \end{bmatrix}$
化为简化阶梯形为：
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
其解是 $x_1 = 3, x_2 = 2$ ，因此 $\boldsymbol b$ 是 $\boldsymbol a_1$ 与 $\boldsymbol a_2$ 的线性组合，权为： $x_1=3$ 和 $x_2=2$ 。

由上例可以得到如下的结论：

向量方程：
$x_1\boldsymbol a_1 + x_2\boldsymbol a_2 + \cdots + x_n\boldsymbol a_n = \boldsymbol b$
和增广矩阵为：
$[\boldsymbol a_1\quad \boldsymbol a_2\quad \boldsymbol \cdots \quad \boldsymbol a_n \quad \boldsymbol b]$
的线性方程组有相同的解集。特别的， $\boldsymbol b$ 可表示为 $\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \boldsymbol \cdots, \boldsymbol a_n$ 的线性组合当且仅当对应于上述线性方程组有解。

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合 $\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n\}$ 的线性组合的所有向量。

张成的向量集合

定义：

若 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n$ 的所有线性组合所成的集合用记号 $Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 表示，称为由 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_n$ 所生成（或张成）的 $\mathbb{R}^n$ 的子集。也就是说， $Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 是所有形如
$c_1\boldsymbol v_1 + c_2\boldsymbol v_2 + \cdots + c_p\boldsymbol v_P$
的向量的集合，其中 $c_1, c_2, \cdots, + c_p$ 为标量。

要判断向量 $\boldsymbol b$ 是否属于 $Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ ，就是判断方程
$x_1\boldsymbol v_1 + x_2\boldsymbol v_2 + \cdots + x_p\boldsymbol v_p = \boldsymbol b$
是否有解，或等价的，判断增广矩阵 $[\boldsymbol v_1 \quad \boldsymbol v_2 \cdots \boldsymbol v_p \boldsymbol \quad \boldsymbol b]$ 的线性方程组是否有解。

由以上定义，得出两个结论：

$Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 包含 $\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p$ 中任意一个向量的倍数。以 $\boldsymbol v_1$ 为例，用 $c\boldsymbol v_1$ 表示任意 $\boldsymbol v_1$ 的倍数，那么因为 $c\boldsymbol v_1 = c\boldsymbol v_1 + 0\boldsymbol v_2 + \cdots + 0\boldsymbol v_p$ ，所以该结论成立。
$Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 一定包含 $\boldsymbol 0$ 向量。这时由于 $\boldsymbol 0 = 0\boldsymbol v_1 + 0\boldsymbol v_2 + \cdots + 0\boldsymbol v_p$ 。

$Span\{\boldsymbol v\}$ 与 $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 的几何解释

假设 $\boldsymbol v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的向量，那么 $Span\{\boldsymbol v\}$ 就是 $\boldsymbol v$ 的所有标量倍数的集合，也就是 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol 0$ 的直线上所有点的集合。

若 $\boldsymbol u$ 和 $\boldsymbol v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的非零向量， $\boldsymbol v$ 不是 $\boldsymbol u$ 的倍数，则 $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中包含 $\boldsymbol u$ , $\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol 0$ 的平面。特别的， $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 包含 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $\boldsymbol u$ 与 $\boldsymbol 0$ 的直线，也包含通过 $\boldsymbol v$ 与 $\boldsymbol 0$ 的直线（由上面的结论也可以得知这一点）。

向量张成的空间.jpeg

还有一点需要注意的是，虽然 $Span\{\boldsymbol v\}$ 只是一条线， $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 只是一个平面，但并不是说 $Span\{\boldsymbol v\}$ 就属于 $\mathbb{R}^1$ ， $Span\{\boldsymbol u, \boldsymbol v\}$ 就属于 $\mathbb{R}^2$ 了，它们仍属于 $\mathbb{R}^3$ ，是 $\mathbb{R}^3$ 的一个子集而已。

在实际应用中向量和向量组合的意义

设公司生产两种产品，对于1美元价值的产品 $B$ ，公司需耗费0.45美元材料，0.25美元劳动，0.15美元管理费用。对1美元价值的产品 $C$ ，公司耗费0.40美元材料，0.30美元劳动，0.15美元管理费用。设：
$\boldsymbol b = \begin{bmatrix} 0.45 \\ 0.25 \\ 0.15 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol c = \begin{bmatrix} 0.40 \\ 0.30 \\ 0.15 \end{bmatrix}$
则 $\boldsymbol b$ 和 $\boldsymbol c$ 称为两种产品的“单位美元产出成本”。

向量 $100\boldsymbol b$ 的经济解释是生产100美元的产品 $B$ 需要的各种成本，即45美元材料、25美元劳动、15美元管理费用。
如果公司希望生产 $x_1$ 美元产品 $B$ 和 $x_2$ 美元产品 $C$ ，那么公司花费的总成本是 $x_1\boldsymbol b_1 + x_2\boldsymbol b_2$

由这个例子，可以体悟到， $\mathbb{R}^n$ 中的 $n$ ，也就是维度，可以代表现实中事物的不同方面（或者成分）。不同的向量可以代表做一件简单事情（或称基本事件，元事件）时，各个方面是如何配合的。而这些向量的组合（也是一个向量），又可以代表做一件复杂的事情时，如何由元事件搭配起来。

最后编辑于：2019.11.04 08:56:37

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1.3 向量方程（线性代数及其应用-第5版-系列笔记）

内容概述

中的向量

的几何表示

中的向量

中的向量

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张成的向量集合

与的几何解释

在实际应用中向量和向量组合的意义

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