0. 定义

又叫二叉排序树(Binary Sort Tree)、二叉搜索树(Binary Search Tree)， 即BST

二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1. 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；
2. 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
3. 左、右子树也分别为二叉排序树；

1. 插入节点

插入的节点一定是叶子节点，可以直接和节点的key对比，然后递归搜索左/右子树即可

BiTree *insertBST(BiTree *t, int key) {
    if (t == NULL) {
        t = new BiTree();
        t->lchild = t->rchild = NULL;
        t->key = key;
        return t;
    }
    if (key < t->key) {
        t->lchild = insertBST(t->lchild, key);
    } else {
        t->rchild = insertBST(t->rchild, key);
    }

    return t;
}

2. 删除节点

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

1. 若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则可以直接删除此子结点。
2. 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
3. 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：
   • 3.1 其一是令*p的左子树为*f的左/右(依*p是*f的左子树还是右子树而定)子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；
   • 3.2 其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）－即让*f的左子树(如果有的话)成为*p左子树的最左下结点(如果有的话)，再让*f成为*p的左右结点的父结点。

bool deleteBST(BiTree *t) {
    BiTree *q, *s;
    //如果只有右子树
    if (t->lchild == NULL) {
        q = t;
        t = t->rchild;
        delete q;
    //如果只有左子树
    } else if (t->rchild == NULL) {
        q = t;
        t = t->lchild;
        delete q;
    //左右子树都不为空
    } else {
        q = t;
        s = t->lchild;
        //找到节点t的前驱
        while (s->rchild) {
            q = s;
            s = s->rchild;
        }
        //保存s的值
        t->key = s->key;
        //此时s的右子树为空，续接s的左子树
        if (q != t) {
            q->rchild = s->lchild;
        } else {
            q->lchild = s->lchild;
        }
        delete s;
    }
    return true;
}

3. 优化

• avl 树
• 二叉树 - 红黑树

3. 实现示例

完整代码

#include <iostream>

using namespace std;

typedef struct BiTree {
    int key;
    BiTree *lchild;
    BiTree *rchild;
};

//插入节点
BiTree *insertBST(BiTree *t, int key) {
    if (t == NULL) {
        t = new BiTree();
        t->lchild = t->rchild = NULL;
        t->key = key;
        return t;
    }
    if (key < t->key) {
        t->lchild = insertBST(t->lchild, key);
    } else {
        t->rchild = insertBST(t->rchild, key);
    }

    return t;
}

//删除节点
bool deleteBST(BiTree *t) {
    BiTree *q, *s;
    if (t->lchild == NULL) {
        q = t;
        t = t->rchild;
        delete q;
    } else if (t->rchild == NULL) {
        q = t;
        t = t->lchild;
        delete q;
    } else {
        q = t;
        s = t->lchild;
        while (s->rchild) {
            q = s;
            s = s->rchild;
        }
        t->key = s->key;
        if (q != t) {
            q->rchild = s->lchild;
        } else {
            q->lchild = s->lchild;
        }
        delete s;
    }
    return true;
}

//中序遍历
void print(BiTree *t) {
    if (t != NULL) {
        if (t->lchild != NULL) {
            print(t->lchild);
        }
        printf("%3d", t->key);
        if (t->rchild != NULL) {
            print(t->rchild);
        }
    }
}

int main(int argc, const char *argv[]) {
    int n, m;
    BiTree *t = NULL;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> m;
        t = insertBST(t, m);
    }
    print(t);
    return 0;
}