【数学建模算法】(15)排队论：输入过程和服务时间的分布——泊松分布与指数分布

排队系统中的事件流包括顾客到达流和服务时间流。由于顾客到达的间隔时间和服务时间不可能是负值，因此，它的分布是非负随机变量的分布。最常用的分布有泊松分布、确定型分布，指数分布和爱尔朗分布。

1.泊松流与指数分布

设 $N(t)$ 表示在时间区间 $[0,t)$ 内到达的顾客数 $(t>0)$ ，令 $P_{n}\left(t_{1}, t_{2}\right)$ 表示在时间区间 $\left[t_{1}, t_{2}\right)\left(t_{2}>t_{1}\right)$ 内有 $n( \geq 0)$ 个顾客到达的概率，即
$P_{n}\left(t_{1}, t_{2}\right)=P\left\{N\left(t_{2}\right)-N\left(t_{1}\right)=n\right\} \quad\left(t_{2}>t_{1}, n \geq 0\right)$

当 $P_{n}\left(t_{1}, t_{2}\right)$ 合于下列三个条件时，我们说顾客的到达形成泊松流。三个条件是：

1.在在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的，我们称这性质为无后效性。
2.对充分小的 $\boldsymbol{\Delta t}$ ，在时间区间 $[t, t+\Delta t)$ 内有一个顾客到达的概率与 $t$ 无关，而约与区间长 $\Delta t$ 成正比即：
$P_{1}(t, t+\Delta t)=\lambda \Delta t+o(\Delta t)$
其中 $O(\Delta t)$ 当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，是关于 $\Delta t$ 的高阶无穷小。 $\lambda>0$ 是常数，它表示单位时间内有一个顾客到达的概率，称为概率强度。
3.对于充分小的 $\Delta t$ ，在时间区间 $[t, t+\Delta t)$ 内有两个或两个以上顾客到达的概率极小，以致可以忽略，即 $\sum_{n=2}^{\infty} P_{n}(t, t+\Delta t)=o(\Delta t)$

上述条件下，我们研究顾客到达数 $n$ 的概率分布。

由条件2，可得总可以取时间0算起，简记 $P_{n}(0, t)=P_{n}(t)$ 。

由条件1和2，有：
$P_{0}(t+\Delta t)=P_{0}(t) P_{0}(\Delta t)$
$P_{n}(t+\Delta t)=\sum_{k=0}^{n} P_{n-k}(t) P_{k}(\Delta t), \quad n=1,2, \cdots$

由条件2和3，得：
$P_{0}(\Delta t)=1-\lambda \Delta t+o(\Delta t)$

可推得：
$\frac{P_{0}(t+\Delta t)-P_{0}(t)}{\Delta t}=-\lambda P_{0}(t)+\frac{o(\Delta t)}{\Delta t}$
$\frac{P_{n}(t+\Delta t)-P_{n}(t)}{\Delta t}=-\lambda P_{n}(t)+\lambda P_{n-1}(t)+\frac{o(\Delta t)}{\Delta t}$

对 $\Delta t$ 取趋于零的极限，当假设所涉及的函数可导时，可得到如下的微分方程组：
$\frac{d P_{0}(t)}{d t}=-\lambda P_{0}(t)$
$\frac{d P_{n}(t)}{d t}=-\lambda P_{n}(t)+\lambda P_{n-1}(t), \quad n=1,2, \cdots$
取初值 $P_{0}(0)=1$ ， $P_{n}(0)=0(n=1,2, \cdots)$ ，易解出 $P_{0}(t)=e^{-\lambda t}$ ；再令
$P_{n}(t)=U_{n}(t) e^{-\lambda t}$ 可代换得：
$\frac{d U_{n}(t)}{d t}=\lambda U_{n-1}(t), \quad n=1,2, \cdots$
$U_{0}(t)=1, \quad U_{n}(t)=0$
可解得：
$P_{n}(t)=\frac{(\lambda t)^{n}}{n !} e^{-\lambda t}, \quad n=1,2, \cdots$
即推得了泊松分布的表达式。我们说随机变量 $\{N(t)=N(s+t)-N(s)\}$ 服从泊松分布。他的数学期望和方差是：
$E[N(t)]=\lambda t ; \quad \operatorname{Var}[N(t)]=\lambda t$
当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的时间间隔 $T$ 必服从指数分布。
这是由于：
$P\{T>t\}=P\{[0,t)内呼叫次数为零\}=P_{0}(t)=e^{-\lambda t}$
那么，以 $F(t)$ 表示 $T$ 的分布函数，则有：
$P\{T \leq t\}=F(t)=\left\{\begin{array}{ll}{1-e^{-\lambda t},} & {t \geq 0} \\ {0,} & {t<0}\end{array}\right.$
而分布密度函数为：
$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}, \quad t>0$
对于泊松流， $\lambda$ 表示单位时间平均到达的顾客数，所以 $\frac{1}{\lambda}$ 就表示相继顾客到达平均间隔时间，而这正和 $ET$ 的意义相符。
对一顾客点的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔相同，有时也服从指数分布。这时设它的分布函数和密度函数分别是：
$G(t)=1-e^{-\mu t}, \quad g(t)=\mu e^{-\mu t}$
于是得到：
$\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P\{T \leq t+\Delta t | T>t\}}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P\{t<T \leq t+\Delta t\}}{\Delta t P\{T>t\}}=\mu$
这表明，在任何小的时间间隔 $[t, t+\Delta t)$ 内一个顾客被服务完了（离去）的概率是 $\mu \Delta t+o(\Delta t)$ 。 $\mu$ 表示单位时间能被服务完成的顾客数，称为平均服务率，而 $\frac{1}{\mu}$ 表示一个顾客的平均服务时间。

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