2018-10-10

两种重要的系统函数
- 1、全通系统
  - 系统的零点和极点关于虚轴对称分布的系统称为全系统
  - 系统对所有的频率分量都有相同的增益
  - 一般用于对系统的相位进行调整
  - 稳定系统的极点只出现S平面的左边，故稳定的全通系统的零点只出现平面的右边。
- 2、最小相位系统
  - 系统的零点和极点只出现在虚轴以左的半平面上。
波特图
- 频域特性曲线的问题
  - 1、不能解决信号动态范围与精度之间的矛盾
  - 2、不能解决信号频率范围与精度之间的矛盾
  - 波特图采用对数坐标
- 对数频率特性
  - - $\ln[H(j\omega)] = \ln[|H(j\omega)|e^{j\varphi (\omega)}]$
    - $\ln[|H(j\omega)|] +j\varphi (\omega) = G(\omega) +j\varphi (\omega)$
    - 实部 $G(\omega) = \ln[|H(j\omega)|]$ ,称为对数增益，单位奈培( $Np,Neper$ )
  - 定义 :
    - 单位：分贝 $Deci-Bel,dB$
  - 波特图的横坐标可以用 $\log\omega$ ,或者 $\log f$
  - 波特图的横坐标只能表示 $\omega >0,f > 0$ ,二三象限表示频率大于零，小于1的频率特性。
线性系统的波特图
- 一般系统的波特图
  - - $H(s) = H(0)\frac{\quad_{i = 1}^{m}(s - z_i)}{\quad_{i = 1}^n(s - p_i)}$
  - $s - z_i = b_i = B_ie^{j\beta_i},s-p_i = a_i = A_ie^{j \alpha_i}$
  - $H(j\omega) = H_0 \frac{\quad_{i = 1}^m B_i}{\quad_{i = 1}^n A_i}e^{j(\sum_{i = 1}^m\beta_i - \sum_{i = 1}^n\alpha_i)}$
- - $G(\omega) = 20\log|H(j\omega)|$
  - $20\log|H_0| + \sum_{i = 1}^m20 \log |j\omega - z_i| - \sum_{i = 1}^n20 \log |j\omega - z_i|$
  - $= 20\log|H_0| +\sum_{i = 1}^mG_{zi}(\omega) - \sum_{i = 1}^nG_{pi}(\omega)$
- 系统的幅频特性和相频特性是各个零点和极点的叠加
- 一次因式的波特图
  - 1、单个实数零点的波特图
  - - 幅频特性
      - $G_{zi}(j\omega) = 20\log|H_{zi}(j\omega)|$
        
        $= -20\log|T_i| +10\log[1 + (\omega T_i)^2]$
      - 第一项是一个固定的常数，暂且不考虑
      - $\omega|T_i|<< 1,10\log[1 + (\omega T_i)^2]\approx 0$
        
        低渐近线
      - $\omega|T_i|<< 1,10\log[1 + (\omega T_i)^2]\approx 20\log\omega +20\log|T_i|$
        
        高渐近线
      - 如果频率也取对数,则高频渐近线是一个斜率为20的直线,其与低频渐近线(横坐标)的交点 $\omega = \frac{1}{|T_i|}= |z_i|$
      - 单个零点的波特图高频部分增益每倍频程增加6dB,每10倍频程增加20dB
      - 修正：交点：增加为3dB,交点2倍或者 $\frac{1}{2}$ 增加1dB
系统的稳定性
- 定义：有限的激励下有有限的响应
- 系统稳定的充分必要条件是其冲激函数绝对可积:即存在常数，使得成立,对于因果系统
  - $\int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt < \infty$ 要求稳定系统的 $H(s)$ 的极点只能分布在s的左半平面
  - 如果极点正好出现在虚轴上的情况
    - 如果系统虚轴上有一阶极点,临界稳定
- 判断系统稳定的依据
  - $H(s)$ 的极点的位置或 $h(t)$ 是否绝对可积
  - 的分母多项式
    - 没有实部大于零的根的必要条件是所有系数同号。
    - 罗斯-霍维斯法则
      - 1、罗斯-霍维斯数列
      - $\begin{matrix} A_n & B_n & C_n & D_n ...\\ A_{n-1} & B_{n-1} & C_{n-1} & D_{n-1}...\\ A_{n-2} & B_{n-2} & C_{n-2} \\ \vdots &\vdots & \vdots \\ A_2 & B_{n-1} & 0\\ A_1 & 0 & 0\\ A_0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$
        
        $A_{i-1} = \frac{A_iB_{i + 1} -A_{i +1}B_{i}}{A_i}$
        
        $B_{i-1} = \frac{A_iC_{i + 1} - A_{i + 1}C_i}{A_i}$
        
        $A_n,A_{n-1},A_{n-2},...,A_0$
        构成了罗斯-霍维斯数列
        
        $D(s)$ 的根实部小于零的条件,罗斯-霍维斯数列系数均同号,且不为0
        
        符号变化的次数就是根实部大于零的个数
    - 计算中出现一个
      - $D(s)$ 乘以 $(s + 1)$
      - 0用一个正无穷小量代替
    - 计算中出现全零行
      - 全零行上面一行的辅助多项式的导数的系数代替全零行继续进行计算

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