[初中数学】超难题001 一道几何选择压轴题

题目

作者介绍：
大爽老师，以前做过高中数学线上一对一辅导老师
现在赋闲在家，与大家分享一些初高中数学的知识，方法与思路。

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\begin{align} & 如图，\angle DAC 与 \angle ACE 的角平分线相交于点P, 且 PC = AB + AC , \\ & 若 \angle PAD = 60 ^\circ, 则 \angle B 的度数是 (\qquad) \\ & A. 100 ^\circ \qquad B. 105 ^\circ \qquad C. 110 ^\circ \qquad D. 120 ^\circ \end{align}

间隔文本（内容无意义，只是防止学生直接看到解答思路干扰自己思路）
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解答

思路
\begin{align} &在AD上找一点F,使AF=AC, 连接PF, 则有 \\ & PC = AB + AC = AB + AF = BF \\ &\quad \left\{ \begin{array}{ll} PA = PA &\\ \angle PAC = \angle PAF & \quad \Rightarrow \quad \triangle PAC \cong \triangle PAF\\ AC = AF &\\ \end{array} \right. \\ & \therefore PC = PF = BF \\ & \therefore \angle PAC = \angle PAF = 60 ^\circ, \angle BAC = 60 ^\circ \\ & 连接PB, \\ & \because PA, PC分别是\angle BAC 和 \ ACB 的外角平分线, \\ & \therefore PB 平分 \angle ABC \quad (三角形的角平分线交于一点，详细证明见补充一) \\ & \angle PBC = \angle PBF = \angle BPF \\ & \therefore BC \parallel PF \\ & \therefore \angle ABC + \angle AFP = 180 ^\circ \tag{1} \\ & \angle AFP = \angle ACP = \frac{1}{2} \angle ACE = \frac{1}{2} (\angle BAC + \angle ABC) = \frac{1}{2} (60 ^\circ + \angle ABC) \tag{2} \\ & 由(1)(2)解得, \angle ABC = 100 ^\circ \\ \end{align}

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答案：

A

补充一

三角形三个内角平分线交于一点，这一点叫做内心。

交于一点证明思路:
两个角平分线的交点，和另一顶点的连线平分另一个角。

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\begin{align} & 如图，BP, CP 分别是 \triangle ABC中 \angle B 、 \angle C 的角平分线。 \\ & 连接AP, 则AP 平分 \angle A \\ 证明如下： & \\ & 作 PD \bot AB 于 D, PE \bot BC 于 E, PF \bot AC 于 F \\ & 易证 \triangle PBD \cong \triangle PBE, \triangle PCE \cong \triangle PCF \\ & \therefore PD = PE = PF \\ & 易证 \triangle PAD \cong \triangle PAF \\ & \angle PAD = \angle PAF, \quad 即PA平分 \angle BAC \\ \end{align}

同理可证，三角形两个角的外角平分线，和另一个角的内角平分线交于一点。

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