数学桥
一、自然数的定义
1、自然数系是一个集合N，它的元素称为自然数并配有一种计数规则+₁(n)，这种计数规则把任一个自然数n联系上另一个自然数，后者记作n+1,称为n的后继。(计数规则)
2、N包含一个最小元素1，它具有这样的性质：它不是任何自然数的后继。(计数起点)
3、任何两个不同自然数的后继也不同。(拒绝循环)
4、假定S是N的任意一个含有自然数1的子集，如果S包含了其所有元素的后继，那么S就是N。(数学归纳)
以上四条公理以一种极其精确和最小化的方式完整地定义了自然数系。
二、整数的定义
1、整数系是一个集合Z，它的元素称为整数，并配有一种计数规则+₁(n)，这种计数规则把任一个整数n联系上另一个整数，后者记作n+1，称为n的后继。
2、任何两个不同整数的后继也不同。
3、没有最小的整数：每个整数都是另一个整数的后继。
三、有理数的定义
1、对于任意给定的自然数n，我们都可以定义一个新的数1/n，它的性质是nx1/n=1，我们只要在整数的那些规则上再添加一个数学表达式，就可以创建一个把这些分数合并进来的新数系，这就是有理数系。
四、无穷算术
1、对于任意给定的n,∞+n=∞
2、对于任意一个有限的自然数n,nx∞=∞。
3、对于任意的自然数n,∞ⁿ=∞
|N|=|Z|=|Q|=|Nⁿ|=|Zⁿ|=|Qⁿ|=∞
五、超越无穷
1、康托尔定理：对于任何的集合S，它的元素与幂集p(s)的元素之间不可能存在一一对应的关系。
2、N的所有子集的集合所含的元素多于∞个。我们终于穷破了∞这一障碍，任何一个所含元素多于 N的集合被称作不可数无穷集。
六、无理数
1、假设我们有一个由递增的实数组成的无穷序列，这些实数都小于某个实数，那么在不小于这个序列中任何一项的实数当中，总存在着一个最小的实数u。
2、任何不是有理数的实数被称为无理数。例：证明√2是一个实数，我们通过设a/b=√2，推出矛盾，已经证明√2不是有理数，现在要用我们这个精确的定义来证明√2是一个实数。我们来看所有满足x²＜2的有理数x，并且把它们按递增的顺序排列起来，那么根据基本公理存在一个对于所有的x都有u≥x的最小实数u，现在假设的平方略大于2，即u²=2+ξ，其中ξ为非常小的实数，那么，根据有理数的稠密性，我们可以找出一个小于u的有理数，它的平方介于2和u²之间，要维确地理解这一点，我们需要做一点代数运算：
十，素数
1，自然数结构的中心是素数，它们只能被自己和1除
2。对素数的研究导致了当代数学中一个最迷人的领域的发展，那就是数论。
3。哥德巴赫猜想：所有大于2的偶数都可以写两个素数的和。18=11+7,46=43+3.450=223+227.
4。费马大定理：关于自然数a,b和c的方程a+bn=cn
仅当自然数n取值1或2时有解，当n>2时没有解。三百年后，剑桥大学的怀尔斯给出一个完整而天才的证明，长达几百页。以下为未来之数学家金泽熙所想的公式：
1³+2³+3³=4³-3³-1³
2³+4³+6³=8³-6³-2³
十一。计算机
计算机能够处理的问题，只是十分有限的一类。因为计算机需要被准确地告知它们应该怎样做。它们要求把问题表述为算法，即精准而明确的，可一步一步执行的方法或方案。因此，计算机不能帮助我们证明像哥德已赫猜想这样的数学陈述。计算机不能帮助我们处理关于无穷大的陈述并且一些数论的漂亮算法，随着所研究的数的不断增大，步骤数以指数增长的算法将迅速地使任向一台机算机败下阵来，计算机执行起来往往需要有长到不可能的时间。 另外，计算机只能认识0和1两个数字，而人类却可以识到无穷多的数字，仅凭0和1是 我相信不足以认识这个世界的；因此人类的未来必将属于人类，而不是人类所发明的计算机，被创造者永远不如创造者完美，正如人不如上常完美一样!
