第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

—— 以圆周运动为例

数学符号

$\vec{e}_n$ , $\vec{e}_{t}$ , $\frac{x}{y}$ , $\sqrt{x}$

对应的代码为
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知识点

曲线运动的加速度 $\vec{a}$
- 自然坐标系， $\vec{e}_n$ ， $\vec{e}_{t}$
- 匀速圆周运动的加速度，向心加速度 $a_n=\frac{v^2}{R}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n$
- 直线运动的加速度，切向加速度 $a_t=\frac{dv}{dt}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_t=\frac{dv}{dt}\vec{e}_t$
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}\vec{e}_t$
- 一般曲线运动的加速度
  - $\vec{a}=\frac{v^2}{\rho}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}\vec{e}_t$
- 曲率半径的直观感受
- 计算曲率半径

例题

例1.

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$

借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。
- 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 变速圆周运动的质点，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中学过的向心加速度嘛)
  
  上述判断正确的为

解答：（2）（3）（6）

例2.

一个质点在做圆周运动时,则
- 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变（特例：匀速圆周运动）
- 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
- 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：-切向加速度可能不变,法向加速度一定改变

例3.

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：最高点时 $v=v_{0}\cos{\theta}$ $a_{n}=g$
$a_{n}=\frac{v^2}{\rho}$
$\rho=\frac{v_0^2\cos^2\theta}{g}$

例4.

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为( )

解答： $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{i}+t\vec{j}$
$v=\sqrt{1+t^2}$
$\vec{a_t}=\frac{dv}{dt}\vec{e_t}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\vec{e_t}$
当t=1时 $\vec{a_t}=\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{e_t}$
$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{j}$
$a=1$ $m/s^2$
$\vec{a_n}=\sqrt{a^2- a^2_t}\vec{e_n}=\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{e_n}$

作业

质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．则在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 时间内的平均速度为

解答：当t=1时 $\vec{r_1}=3\vec{i}$
当t=5时 $\vec{r_2}=15\vec{i}-24\vec{j}$
$\vec{r_3}=\vec{r_2}-\vec{r_1}=12\vec{i}-24\vec{j}$
$\vec{v}=\frac{\vec{r_3}}{t_2-t_1}=3\vec{i}-6\vec{j}$
$v=3\sqrt{5}$ m/s

设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答： $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=-R\omega\sin\omega t\ \vec{i}+R\omega\cos\omega t\ \vec{j}$

$v=\sqrt{(-R\omega\sin\omega t)^2+(R\omega\cos\omega t)^2}=R\omega$

运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
则 $t$ 时刻的速度与速率

解答： $\vec{v_x}=\frac{dx}{dt}\vec{i}=(-10+60t)\vec{i}$
$\vec{v_y}=\frac{dy}{dt}\vec{j}=(15-40t)\vec{j}$
$\vec{v}=(-10+60t)\vec{i}+(15-40t)\vec{j}$
$v=\sqrt{(-10+60t)^2+(15-40t)^2}=5\sqrt{13-96t+208t^2}$

大物3

大物3

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例题

例1.

例2.

例3.

例4.

作业

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