概率论相关总结

概率的性质

  • 0 \leq P(A)\leq 1
  • P(\Omega ) = 1
  • P(\phi) = 0
  • 若AB=\phi,则P(AB) = P(A)+P(B)
  • P(\overline{A}) = 1- P(A)
  • P(B) - P(A) = P(B\overline{A}) = P(B)- P(AB)
  • 加法公式，对于任意事件A，B， P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)

古典概型

特点

  • 所有可能的结果为有限个。
  • 每个基本事件发生的可能性相等。

算法

事件E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，包含m个样本点，则事件A出现的概率为？
P(A) = \frac{m}{n} = \frac{A包含的样本点数}{E的样本点总数}

几何概型

可以认为是古典概型的变形，当可能的结果为无限多个的时候就是几何概型。

特点

  • 每个基本事件发生的可能性相等
  • 所有可能的结果为无限个

算法

当随机试验的样本空间是某区域并且落在度量相同的子空间（长度，面积，体积）的可能性一致，则概率可定义为P(A) = \frac{S_{A}}{S}

例子

会面问题

条件概率

A,B是两个事件，且P(A) > 0,称 P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{P(A)}，即在A事件发生的情况下B发生的概率。

性质

  • 非负性：P(A|B) \geq 0
  • 规范性：P(\Omega |B) = 1 且 P(\phi |B) = 0
  • P( A_{1}\cup A_{2}|B) = P(A_{1}|B) + P(A_{2}|B) -P( A_{1}A_{2}|B)
  • P( A|B) = 1- P(\overline{A}|B)
  • 可列可加性：设B_{1},B_{2}...为两两互斥的事件，则有P(\bigcup_{i=1}^{\infty }B_{i}|A)= \sum_{i=1}^{\infty} P(B_{i}|A)

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