Chapter7—参数估计

根据样本信息来推断总体信息，比如总体分布函数的未知参数。

1. 点估计

点估计的问题定义：

设总体 $X$ 的分布函数 $F(x;\theta)$ 的形式已知， $\theta$ 是未知参数， $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个样本， $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 是它的样本值。点估计就是要构造一个适当的统计量 $\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ ，用该统计量作为总体未知参数 $\theta$ 的估计值。

点估计的常用方法：矩估计法和最大似然估计法

矩估计法：样本矩估计总体矩的方法

若总体中含有 $k$ 个未知参数，令
$E(X^{l})=A_{l}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{l},l=1,2,\cdots,k$ 从中解出 $k$ 个参数 $\hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2},\cdots,\hat{\theta}_{k}$ 作为 $\theta_{1},\theta_{2},\cdots,\theta_{k}$ 的估计量，其中 $A_{l}$ 是 $l$ 阶样本中心距。

注：矩估计法简单易行，并不需要事先直到总体是什么分布。缺点是，当总体类型已知，没有充分利用分布提供的信息，一般场合下，矩估计量不具有唯一性。

最大(极大)似然估计：

基本原理：用使样本取值概率达到最大的参数值来估计未知参数

离散型随机变量：若 $X$ 是离散型随机变量，其分布律为 $P(X=x)=p(x;\theta)$ ，其中 $\theta$ 为未知参数， $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 是来自 $X$ 的一个样本，设 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 为对应的样本值，则事件 $X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\cdots,X_{n}=x_{n}$ 发生的概率为
$P=\prod_{i=1}^{n}p(x_{i};\theta)$ 记
$L(\theta)=L(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};\theta)=\prod_{i=1}^{n}p(x_{i};\theta)$ 为离散型的样本的似然函数。固定样本值 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ ,取使得 $L(\theta)$ 达到最大的参数值 $\hat{\theta}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 作为 $\theta$ 的参数估计。

连续型随机变量：记
$L(\theta)=L(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)$ 其中 $f(x;\theta)$ 为概率密度函数。

估计量的评价标准：

无偏性：若估计量 $\hat{\theta}=\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 的数学期望 $E ( \hat{ \theta } )$ 存在，且对于任何 $\theta\in\Theta$ ，有 $E(\hat{\theta})=\theta$ ，则称 $\hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，否则为有偏估计量。

有效性：有效性是衡量两个无偏估计量的优劣，方差越小越有效，前提是样本容量固定。
但方差不能无限小到0，存在罗-克拉美下界(Rao-Cramer)：
$D(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{nE[\frac{\partial \ln f(x,\theta)}{\partial \theta}]^{2}}=\frac{1}{nI(\theta)}=G$ 凡是能够达到Rao-Cramer下界的无偏估计量称为最小方差无偏估计量。

相合性：无偏性和有效性都是在样本容量固定的前提下提出的，我们希望随着样本容量的增大，一个估计量的值稳定与待估参数真值附近。
设 $\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 是参数 $\theta$ 的一个估计量，当 $n\rightarrow\infty$ 时， $\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 依概率收敛于 $\theta$ ，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的相合估计量。

2. 区间估计

未知参数的点估计仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映与真实值的接近程度，亦没有给出估计的精度，使用起来把握不大。现在我们要给出一个区间，这个区间包含未知参数的可信程度是预先给定的，此区间的长度给出了估计的精度，这就是我们要讨论的区间估计。

定义：

设总体 $X$ 的分布函数 $F(x;\theta)$ ，其中 $\theta\in\Theta$ 是一个未知参数，对于给定的一个很小的正数 $\alpha$ ，若由来自 $X$ 的样本 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 确定的两个统计量 $\hat{\theta_{1}}=\hat{\theta_{1}}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ , $\hat{\theta_{1}}=\hat{\theta_{2}}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ ，对于任意的 $\theta\in\Theta$ ,满足
$P(\hat{\theta_{1}}<\theta<\hat{\theta_{2}})\ge 1 - \alpha$ 则称 $(\hat{\theta_{1}},\hat{\theta_{2}})$ 是 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间，分别称 $\hat{\theta_{1}}$ 和 $\hat{\theta_{2}}$ 是置信水平为 $1-\alpha$ 双侧置信区间的置信下界和置信上界。

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 218,284评论 6赞 506
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 93,115评论 3赞 395
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 164,614评论 0赞 354
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,671评论 1赞 293
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,699评论 6赞 392
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,562评论 1赞 305
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,309评论 3赞 418
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 39,223评论 0赞 276
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,668评论 1赞 314
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,859评论 3赞 336
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,981评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,705评论 5赞 347
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,310评论 3赞 330
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,904评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 33,023评论 1赞 270
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 48,146评论 3赞 370
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,933评论 2赞 355

Chapter7—参数估计

1. 点估计

2. 区间估计

推荐阅读更多精彩内容