记北师版八上数学教材第二章第四节。
本课从实数的定义、分类、数轴表示、相关概念、运算、延伸共6个角度引导学生认识实数。
一、课前引入
回顾有理数的分类
意图：体会分类标准、为接下来无理数类比分类做好铺垫。
问题：怎样对无理数进行分类呢？
意图：体会无理数只能按照大小分类，引出实数定义。
二、新课讲授
1.定义
从字面上看，实数的“实”和其英文名中的“real”（真实的）是一致的，那么什么是“实”呢？
问题：以上各数都有什么含义？例如，1.73可以表示某人的身高……
意图：发展学生的数感，同时感受实数的“实”。
生1: ³√2可以表示体积为二的正方体的棱长。
生2: π表示圆的周长与直径之比。
2.分类
问题：以上各数哪些是有理数，哪些是无理数？
问题：实数还可以怎样分类？
学生独立思考并在练习本上完成，代表板演。
意图：了解实数的第二种分类方法，体会两种不同的分类标准，即：按形式分类或按大小分类。
3.数轴表示
学生已经学过有理数可以用数轴上的点来表示，那么无理数呢？
问题：怎样在数轴上出√5对应的点？
对于√5，有学生想到用前一课学过的夹逼法估算出√5的大致范围，再在数轴上标出来。这种活学活用的精神值得肯定，但是应指出：数轴上有无数个点，这样的做法是不准确的。有学生想到用勾股定理构造直角三角形——以1和2为直角边的直角三角形，斜边恰好为√5。
接下来考虑√13和√14，√13为以2和3为直角边的直角三角形的斜边。√14需要二次构造，是以√13和1为直角边的直角三角形斜边。
意图：学会一个简单无理数在数轴上的表示方法，体会继有理数后，无理数也可以在数轴上表示。任意实数可以在数轴上表示，反之，数轴上任意一点可以找到与之对应的实数。即：数轴上的点与实数一一对应。
3.相关概念
意图：了解在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。进一步强化符号意识。
5.运算
意图：了解实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用。
6.延伸
问题：在全体实数中，有理数的数量多一些？还是无理数的数量多一些？
有学生回答有理数多一些，也有学生回答无法比较，因为有理数有无数个，无理数也有无数个，因此无法比较。对一部分学生应予以肯定，思维严谨性较高。
问题：把上面的问题换一下——全体实数范围内，随机抽1个实数，抽到无理数的概率和抽到有理数的概率，哪个更大一些？
说明：上述问题对学生而言是有一定难度的。教师可引导：用a表示任意一个实数，如果直接考虑a比较困难，那么我们来考虑a²（这与之前一课用比较两个非负数的平方来判断两个数的大小的思路一致）。考虑1到225共15个平方数，这就意味着给1到225这225个整数同时求算术平方根，只有15个结果是有理数，其余均为无理数。更不用说√1.5, √2.8……这种被开方数开不尽方的情况。因此无理数在全体实数中是大量存在的，且数量远远大于有理数的数量。
意图：从实数的结构角度延伸认知，结果出乎学生意料。此处进行情感价值观教育：陌生，不代表稀有，认知局限而已。学海无涯，加油！
课堂板书
