等价无穷小（Taylor公式的运用一）

提出问题：

当X→0时

tanX-sinX~？

分析问题：

倘若用泰勒公式分别展开tanX与sinX，即可得解

解决问题：

（一）泰勒公式

由导数定义

$\lim_{x\to0} f（x）$ =lim $\frac{f（x+Δx）-f（x）}{Δx}$ =f’（x）

同理，若f（x）在a点有导数

$\lim_{x-a\to0} f（x）$ =f’（a）=lim $\frac{f（x）-f（a）}{x-a}$ ，当a=0时

整理得

(二）tanX展开式

key：tanx的导数

tanx=sinX*cosX^(-1)

tan'X=cosX*cosX^(-1)+sinX^2/cosX2=1+tanx^2=(secX)^2

tan'(0)=1

tan''X=(1+tanX^2)'=2tanX*(secX)^2,tan''(0)=0

tan‘’‘X=2*(（secX)^4+2tanx*某数（因为tan（0）=0）

tan’‘’（0）=2

最终

tanX~x+ $\frac{2}{3！}$ $x^3$ + $\frac{4*2}{5！}$ $x^5$ +o（X）

（三）sinX的展开式

sin‘X=cosX

sin’（0）=cos（0）=1

sin‘’X=cos‘X=-sinX

sin’‘（0）=0

sin’‘’X=-cosX

sin‘’‘（0）=-1……

最终

sinX~x- $\frac{1}{3*2*1}$ $x^3$ + $\frac{1}{5！}$ $x^5$ ……

（四）差函数

tanX-sinX~ $\frac{1}{3}$ $x^3$ + $\frac{1}{6}$ $x^3$ = $\frac{1}{2}$ $x^3$

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