顺磁自旋模型统计物理

考虑一个顺磁模型，各自旋彼此独立，只与一均匀外场有相互作用，外场强度为h。体系能量为

E=-h\sum_{i=1}^N s_i,\quad s_i=\pm 1

相空间（也即构型空间）由集合{ s_i }_{i=1,\cdots,N}给出。

问给定能量E，体系有多少个构型？

能量E给定，也即给定磁化强度M=\sum_{i=1}^N s_i。设自旋取值为+1（也称自旋向上）的自旋数为N_+，则磁化强度为M=N_+-(N-N_+)，所以给定M也即给定N_+，于是由基本的排列组合公式知识，构型数为

\Omega = \frac{N!}{N_+!(N-N_+)!}

又

N_+ = \frac{1}{2}\left ( N-\frac{E}{h}\right ) \label{Np}

将此式代入\eqref{Omega}，可以将\Omega表示为E的函数：

\Omega (E) = \frac{N!}{\left [\frac{1}{2}(N-E/h) \right ]!\left [\frac{1}{2}(N+E/h) \right ]!} \label{OmegaE}

熵为

S(E)=&\ln\Omega (E) \\ =& \ln N! -\ln \left [\frac{1}{2}(N-E/h) \right ]! -\ln \left [\frac{1}{2}(N+E/h) \right ]! \end{split} \label{Entropy}

如果N很大，满足斯特灵公式：

\ln N! \approx N\ln N-N \label{Stirling}
代入\eqref{Entropy}，得

S(E)= N\ln N-\frac{N+E/h}{2}\ln \frac{N+E/h}{2} - \frac{N-E/h}{2}\ln \frac{N-E/h}{2} \label{EntropyE}

系统温度T满足如下关系：

\frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}=\frac{1}{2h} \ln \frac{N-E/h}{N+E/h} \label{T}

由上式可得

E=-Nh\tanh\frac{h}{T} \label{Eana}

由\eqref{energy}式，E=-h\sum_{i=1}^N s_i=-Mh，于是，总磁化强度为

M=N\tanh\frac{h}{T} \label{M}

摘自：https://joyfulphysics.scholarnet.cn/?p=1297

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