5.6 质能方程

我们知道，牛顿力学是建立在绝对时空观的基础之上的，如果时空的基本性质改变了，牛顿力学的规律也一定需要修正，那么牛顿三定律中的哪一条会存在问题呢？是惯性定律、加速度定律还是作用力与反作用力定律呢？思之再三，爱因斯坦决定保持牛顿第三定律形式不变，舍弃加速度定律，至于为什么这样选择，我们会在后续内容中讨论。这一选择意味着在相对论力学中牛顿第二定律F=ma不再成立，而物体的质量会随速度增加而改变。同时，保持牛顿第三定律不变也就意味着，动量守恒定律仍然成立，于是我们就可以利用速度合成公式，得到著名的相对论质速方程。

如图5-13所示，一个质量为2m的小球在坐标系S中以速度v向右匀速运动。如果我们选择以小球为参考系，则可以建立一个运动的参考系S’。

在某一时刻，小球爆炸为质量相等两部分m0和mu，二者相互以2u的速度前后远离。在S’参考系看来，原来的小球处于静止状态，动量为0，由于动量守恒不难得知，爆炸后的总动量不变，仍会保持0。既然两个小球的质量相等，那么m0和mu的速度应分别为-u和u。而相对于原来的S参考系而言，向后运动的一个小球m0前后运动速度抵消，正好也可以在S系中保持静止，但向前运动的小球mu的实际速度v则需要按照相对论速度合成计算：

在静止的S系中看来，动量守恒定律仍然成立，爆炸前的总质量m=mo+mu，爆炸前总速度为u，爆炸后mo的速度为0，所以动量为0，由动量守恒定律可得：

注意，虽然在S’系中看来mo和mu的质量完全相等，但在S系中看来

结果表明：物体的质量会随着物体运动速度的增大而增大，这一质量被称为相对论质量。在牛顿力学中，物体的加速度a=F /m，在恒定力F的作用下，由于质量不变，所以加速度也会保持不变，经过一段时间后，物体运动的速度v=at=Ft /m。但在相对论力学中，由于质量随运动速度变化而变化，所以加速度也不再恒定，对于一个运动的物体m而言，如果我们为它提供恒定的推力F，速度又会随事件如何变化呢？由动量守恒定律Ft = mv，结合相对论质量公式可得：

这就是质量、速度随着时间而变化的规律，如果一定要把物体在静止时的加速度叫做a0，并假设在加速度a0不变的条件下的理想速度v0=a0t，那么此式也可表示：

接下来，我们继续讨论在这个恒定力F的作用下，物体移动的距离。在牛顿力学中，恒力F产生恒定的加速度a，在a的作用下，经过一段时间t，物体达到速度v，此时物体走过的平均速度则为v/2，因此其走过的总路程s：

在相对论力学中，由于质量随运动速度的增大而增大，所以加速度就会随运动速度的增大而减小，因此，计算物体行进的总路程必须根据速度的变化公式，通过积分的方式来计算：

此过程中，物体增加的总动能Ek就是恒力F做的功W，即：

由此不难得出，当物体的动能为0时，物体的总能量等于其静止能量，于是就得出了著名的相对论质能方程

同时间和空间的关系一样，质能方程表明：质量和能量

也不再是相互独立的物理量。一切有质量的物体都蕴含着巨大的能量，在特定的条件下，二者之间可以相互转换。当重原子核发生裂变或者轻原子核发生聚变时，核内的一部分质量就会湮灭，随即转换为能量的形式及释放出来。

以上，就是爱因斯坦狭义相对论的证明过程。尽管从表面看来，上述论证过程只是基于光速不变原理和相对性原理得到的。然而仔细分析不难发现，相对论的证明过程来要依赖于如下一些基本假设：

1.假设与运动垂直的方向上空间距离保持不变；

2.假设两个参考系的相对运动速度v的大小不变；

3.假设惯性定律和动量守恒定律不变；

以上几点都在我们的论证过程中强调了，虽然这些基本假设远不如光速不变原理和相对性原理重要，但一旦离开它们，狭义相对论的结论也很难得出。更重要的是，狭义相对论还隐含了另外一些更基本、更重要的前提。请大家认真考虑一下，为什么我们可以在相对论的证明过程中使用笛卡尔坐标系描述时空坐标呢？这一点难道不需要前提条件吗？当然需要！笛卡尔坐标系的使用至少要基于如下两个前提：

1.空间必须各向均衡；

2.时间必须具有各向同性；

只有建立在这两个假设的基础上，光速才会在不同方向上保持同样的速度。除此之外，笛卡尔坐标系还有一个特点，那就是水平和垂直的两个坐标轴必须是垂直的。如果我们把这一点和空间各向均衡的特性联系起来，不妨简称为空间平直。和光速不变原理一样，空间的平直、时间的各向同性都是证明狭义相对论的最基本、最重要的前提假设。

目前，狭义相对论不仅早已被大量实验所证明，而且还在航空航天、国防科研及生产生活的各个领域中发挥着巨大作用。它不仅给了我们认识世界的宏大视角，而且还是我们改变世界、开创未来的重要理论工具。显然，狭义相对论的正确性是毋庸置疑的，然而我们也必须认识到，同相对论带来的伟大功绩一样，它所带来的问题同样不容忽视……