均匀分布和指数分布随笔

均匀分布

在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。

假设 $X ~ U(a,b)$ 其概率密度为
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}, & a < x < b \\ 0 \end{cases}$

uniform_distribution.jpeg

则有期望 $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_a^b \frac{1}{b-a} x dx = \frac{1}{2}(a+b)$
那么方差为 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \int_a^b x^2 \frac{1}{b-a} dx - \left( \frac{a+b}{2} \right) = \frac{(b-a)^2}{12}$

指数分布

在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。是几何分布的连续模拟，具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。

$y = \lambda e^{-\lambda x}$
假设随机变量 X 服从指数分布，其概率密度为
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} & x > 0 & \theta >0 \\ 0 & x \le 0 \end{cases}$
则有
$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx = \infty_0^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}dx$
$- xe^{-\frac{x}{\theta}}|_0^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{x}{\theta}}dx = \theta$

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \infty_0^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}dx - \theta^2 = 2\theta - \theta^2 = \theta^2$
指数函数的一个重要特征是无记忆性(遗失记忆性)
对于时间，单一个人等车的时间，再去
$P(X>s + t|x>s) = P(x>t)$
如果 X 是我们家里买的吸顶灯，即使用了 s 小时，则供使用至少 s + t 小时的条件概率，与未使用开始至少使用 t 小时的概率相等。

©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
【社区内容提示】社区部分内容疑似由AI辅助生成，浏览时请结合常识与多方信息审慎甄别。
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

均匀分布和指数分布随笔