Chapter14 卡方分布

卡方分布也是假设检验的一种方法，利用卡方分布来检验观察频数与期望频数之间的差异大小是否显著
主要用途有：
1.检验观察频数与某一概率分布的拟合优度
2.检验两个事件是否独立

一：检验观察频数与某一概率分布的拟合优度

步骤：
1.确定原假设和备择假设
2.计算期望频数与自由度
3.确定拒绝域
4.计算 $\chi^2$ 值
5.判断是否位于拒绝域内
6.做出结论，接受或拒绝原假设

例：赌场骰子的观察频数如下，显著性水平为1%，判断是否公正：

点数	1	2	3	4	5	6
观察频数	107	198	192	125	132	248

1.原假设：骰子公正，每个点数的概率为1/6；备择假设：骰子不公正
2.期望频数：总次数*每个点的概率 = 1002x1/6 = 167

点数	1	2	3	4	5	6
期望频数	167	167	167	167	167	167

自由度v = n-1 = 5
3.确定拒绝域： $\chi^2_{0.01}(5)$ = 15.09
$\chi^2 >15.09$ 为拒绝域
4. $\chi^2 = \Sigma ((E-O)^2 \div E)$ = 88.24
5. $\chi^2= 88.24 > 15.09$ 在拒绝域内
6.拒绝原假设，接受备择假设，骰子是不公正的。

二：检验两个事件是否独立

步骤：
1.确定原假设和备择假设
2.计算期望频数与自由度
3.确定拒绝域
4.计算 $\chi^2$ 值
5.判断 $\chi^2$ 值是否位于拒绝域内
6.判断假设是否成立

例：轮盘转转转游戏输赢结果与庄家是否有关，显著性水平为5%，观察频数如下:

赌	庄家A	庄家B	庄家C	总和
红	375	367	357	1099
黑	379	336	362	1077
绿	46	37	41	124
列总和	800	740	760	2300

1.原假设：赌局结果与庄家是独立的；备择假设：赌局结果与庄家是相关的
2.假设庄家与否与输赢无关，计算期望频数及自由度
$总和*P(庄家\cap赢局）$ = $总和*P（庄家）*P(赢局)$ = $行总和*列总和/总和$

赌	庄家A	庄家B	庄家C
红	382.3	353.6	363.1
黑	374.6	346.5	355.9
绿	43.1	39.9	41

自由度为4
3.拒绝域：
$\chi^2_{0.05}(4)$ = 9.49
拒绝域为 $\chi^2$ > 9.49
4.计算 $\chi^2$ = $\Sigma ((E-O)^2/E)$ = 1.538 < 9.49
5.检验统计量<9.49 ,不在拒绝域内
6.接受原假设，庄家与赌局赢否是独立的

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