Max–min inequality

一个矩阵，行最小值的最大值，不超过其列最大值的最小值。

设f:X \times Y\to \mathbf{R}，则：\sup _{x} \inf _{y} f(x, y) \leq \inf _{y} \sup _{x} f(x, y) 证明：\inf _{y} f(x, y) \leq f(x, y) \leq \sup _{x} f(x, y) 如果X, Y都是紧集，那么可以写成：\max _{x} \min _{y} f(x, y) \leq \min _{y} \max _{x} f(x, y)

如果等号成立，就说f满足 saddle-point property。

例：\sup_x \inf_y \sin(x+y)=\sup_x -1 \leq \inf 1=\inf_y \sup_x \sin(x+y)

Minimax theorem

minimax theorem 给出了 max-min inequality 取等号的一个充分条件：

  • f(\cdot, y): X \to \mathbf{R} concave
  • f(x, \cdot): Y\to \mathbf{R} convex
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