均值、标准差和标准误

学习统计过程中，一些概念经常搞不清。本文以一个简明的例子，具体解释一下标准差和标准误。

假如将2020年全国高考考生的数学成绩为总体。

第一次，从中随机抽取400考生的数学成绩，这就可以构成一个样本1，记为 $X1=\left\{ 98,76,...,103\right\}$

此时，该样本均值为 $\bar{X1 } =99$

标准差 $S1=5.60$

均值反应该样本的集中程度，方差反应该样本离均值的离散程度。

第二次，继续随机抽取了400考生，重新构成了一个样本2，记为 $X2=\left\{ 101,55,...,99\right\}$

样本均值 $\bar{X2 } =97$

标准差 $S2=7.13$

m次抽取之后，共获得了m个样本均值，这些个统计量重新构成一个数据整体，记为 $XM = \left\{ X1,X2,...,Xm \right\}$

因为抽样本身具有随机性，所以每次抽样得到的均值可能也是不同的，是一个在变动的值，即 $M$ 具有随机波动性，想要了解这组数据的概率分布，同样可以计算 标准差

这个标准差的定义与前文相同，但其本身含义是反应抽样过程中随机误差的大小，所以也叫标准误（standard error， Std.E 或 SE），或者均值的标准误。

当然了，其他的统计量也可以进行标准误计算，比如 $SM = \left\{ S1,S2,...,Sm \right\}$ ,可以被叫做“标准差的标准误”。

标准误越小，反应抽样误差越小，用该样本统计量来估计或推断响应总体参数的可靠性就越高。

还看到有人对其区别进行了总结，直接搬过来，原文链接：https://zhidao.baidu.com/question/590726342400477245.html

标准差和标准误都是变异指标,但它们之间有区别,也有联系.区别:

①概念不同；标准差是描述观察值(个体值)之间的变异程度；标准误是描述样本均数的抽样误差；

②用途不同；标准差常用于表示变量值对均数波动的大小,与均数结合估计参考值范围,计算变异系数,计算标准误等.标准误常用于表示样本统计量(样本均数,样本率)对总体参数(总体均数,总体率)的波动情况,用于估计参数的可信区间,进行假设检验等.

③它们与样本含量的关系不同:当样本含量 n 足够大时,标准差趋向稳定；而标准误随n的增大而减小,甚至趋于0 .联系:标准差,标准误均为变异指标,如果把样本均数看作一个变量值,则样本均数的标准误可称为样本均数的标准差；当样本含量不变时,标准误与标准差成正比；两者均可与均数结合运用,但描述的内容各不相同.

均值、标准差和标准误

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