原文链接：https://yanghan.life/2019/01/15/两道有趣的离散数学题目/
有两道比较有趣的题目，为了防止忘掉，记录一下。
1 实数集uncountable
这里countable的定义就是与集合里的元素能与自然数集一一对应，比如说偶数集和自然数集有2n和n的对应关系，所以说这两个集合大小相等，都是.
这道题目是当年大二时候的离散数学课后习题，最近刚好跟人聊天聊到相关的话题，回忆了一下怎么证明。
这里记录几个简单的结论/题目。
1.1 有理数集countable
法一（直观）：
对于有理数m/n, 按
1/1
1/2 2/1
1/3 2/2 3/1
1/4 2/3 3/2 4/1
...
排列去数，可以与自然数一一对应。
法二：
对于任意一个既约有理数m/n，构造映射，y是自然数，那么对于不同的m/n，一定有不同的自然数y。所以自然数集小于等于有理数集。
反过来，自然数是有理数的子集，所以自然数集又不大于有理数集。
综上，两集合基数相等，所以有理数集是可数集。
1.2 若集合A, B都countable，则
countable
一、若 或者
, 显然。
二、若 且
countable, 对应
countable, 对应
.
定义 :
即可证明 countable.
1.3 (0, 1)的无理数uncountable
假设(0,1)的实数countable,
则对于(0,1)的实数集：X {x1,x2,x3,...,xn}
总能找到一个实数H=0.abcdefg….. , 使得
a != x1小数点后第一位
b != x2小数点后第二位
c != x3小数点后第三位
...
由此得出
产生矛盾, 所以(0,1)的实数集uncountable.
实数=有理数+无理数
有理数countable，所以无理数uncountable.
由(0,1)的实数集uncountable可知实数集uncountable.
2 Stolen Necklace Problem
这道题目来自3Blue1Brown的Sneaky Topology。这里简单总结一下要点。
题目：把一串有n种宝石的项链平分给两个人（每种宝石有偶数个），那么在项链上至多切n刀即可完成。
2.1 Borsuk-Ulam Theorem
简单地拿三维空间里的球体来说，通过一个连续函数将其映射到一个二维平面 ，必然可以找到一对在两极的点(antipodes 对跖点)在映射后是二维平面上的同一个点。
简单证明一下：
构造，
所以对于赤道上的点，的图像是围绕原点的一个圈。将赤道这条纬线连续向北极移动，到北极的时候
的值是一个点。在这个连续的过程中
的图像必然经过原点，这就证明了
有零点，原命题得证。
2.2 回到原题目
假设项链总长度为1，切两刀后的三段长度为。那么
意味着每种切法都对应球上一点。
antipodes对应的切法相同，但是分法互换。(e.g. xz给A，y给B 和 y给A，xz给B 这两种分法)
意味着AB两人分得的内容相同，互换后不变。
这样，Borsuk-Ulam Theorem 就证明了 2种宝石的 Stolen Necklace Problem 可以用2刀解决。
Borsuk-Ulam Theorem 和 Stolen Necklace Problem 都可以推广到n.
