模拟退火常用于三个方面：求解函数极值、TSP问题、书店买书问题。作为一种累赘的智能算法，骗阅卷老师足够了(๑̀ㅂ•́)و✧
一、求解函数极值
这类问题与其用模拟退火，不如用粒子群去，不仅高端还实用 --- 粒子群学习链接
二、TSP问题
主函数
%% 数据预处理
tic
rng('shuffle') % 控制随机数的生成，否则每次打开matlab得到的结果都一样
clear;clc
coord = [11003.611100,42102.500000;11108.611100,42373.888900;11133.333300,42885.833300;11155.833300,42712.500000;11183.333300,42933.333300;11297.500000,42853.333300;11310.277800,42929.444400;11416.666700,42983.333300;11423.888900,43000.277800;11438.333300,42057.222200;11461.111100,43252.777800;11485.555600,43187.222200;11503.055600,42855.277800;11511.388900,42106.388900;11522.222200,42841.944400;11569.444400,43136.666700;11583.333300,43150.000000;11595.000000,43148.055600;11600.000000,43150.000000;11690.555600,42686.666700;11715.833300,41836.111100;11751.111100,42814.444400;11770.277800,42651.944400;11785.277800,42884.444400;11822.777800,42673.611100;11846.944400,42660.555600;11963.055600,43290.555600;11973.055600,43026.111100;12058.333300,42195.555600;12149.444400,42477.500000;12286.944400,43355.555600;12300.000000,42433.333300;12355.833300,43156.388900;12363.333300,43189.166700;12372.777800,42711.388900;12386.666700,43334.722200;12421.666700,42895.555600;12645.000000,42973.333300];
n = size(coord,1); % 城市的数目
figure % 新建一个图形窗口
plot(coord(:,1),coord(:,2),'o'); % 画出城市的分布散点图
hold on % 等一下要接着在这个图形上画图的
d = zeros(n); % 初始化两个城市的距离矩阵全为0
for i = 2:n
for j = 1:i
coord_i = coord(i,:); x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2); % 城市i的横坐标为x_i，纵坐标为y_i
coord_j = coord(j,:); x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2); % 城市j的横坐标为x_j，纵坐标为y_j
d(i,j) = sqrt((x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2); % 计算城市i和j的距离
end
end
d = d+d'; % 生成距离矩阵的对称的一面
%% 参数初始化
T0 = 1000; % 初始温度
T = T0; % 迭代中温度会发生改变，第一次迭代时温度就是T0
maxgen = 1000; % 最大迭代次数
Lk = 500; % 每个温度下的迭代次数
alpfa = 0.95; % 温度衰减系数
%% 随机生成一个初始解
path0 = randperm(n); % 生成一个1-n的随机打乱的序列作为初始的路径
result0 = calculate_tsp_d(path0,d); % 调用我们自己写的calculate_tsp_d函数计算当前路径的距离
%% 定义一些保存中间过程的量，方便输出结果和画图
min_result = result0; % 初始化找到的最佳的解对应的距离为result0
RESULT = zeros(maxgen,1); % 记录每一次外层循环结束后找到的min_result (方便画图）
%% 模拟退火过程
for iter = 1 : maxgen % 外循环, 我这里采用的是指定最大迭代次数
for i = 1 : Lk % 内循环，在每个温度下开始迭代
path1 = gen_new_path(path0); % 调用我们自己写的gen_new_path函数生成新的路径
result1 = calculate_tsp_d(path1,d); % 计算新路径的距离
%如果新解距离短，则直接把新解的值赋值给原来的解
if result1 < result0
path0 = path1; % 更新当前路径为新路径
result0 = result1;
else
p = exp(-(result1 - result0)/T); % 根据Metropolis准则计算一个概率
if rand(1) < p % 生成一个随机数和这个概率比较，如果该随机数小于这个概率
path0 = path1; % 更新当前路径为新路径
result0 = result1;
end
end
% 判断是否要更新找到的最佳的解
if result0 < min_result % 如果当前解更好，则对其进行更新
min_result = result0; % 更新最小的距离
best_path = path0; % 更新找到的最短路径
end
end
RESULT(iter) = min_result; % 保存本轮外循环结束后找到的最小距离
T = alpfa*T; % 温度下降
end
disp('最佳的方案是：'); disp(mat2str(best_path))
disp('此时最优值是：'); disp(min_result)
best_path = [best_path,best_path(1)]; % 在最短路径的最后面加上一个元素，即第一个点（我们要生成一个封闭的图形）
n = n+1; % 城市的个数加一个（紧随着上一步）
for i = 1:n-1
j = i+1;
coord_i = coord(best_path(i),:); x_i = coord_i(1); y_i = coord_i(2);
coord_j = coord(best_path(j),:); x_j = coord_j(1); y_j = coord_j(2);
plot([x_i,x_j],[y_i,y_j],'-b') % 每两个点就作出一条线段，直到所有的城市都走完
% pause(0.02) % 暂停0.02s再画下一条线段
hold on
end
%% 画出每次迭代后找到的最短路径的图形
figure
plot(1:maxgen,RESULT,'b-');
xlabel('迭代次数');
ylabel('最短路径');
toc
路径求和
function result = calculate_tsp_d(path,d)
% 输入：path:路径（1至n的一个序列），d：距离矩阵
n = length(path);
result = 0; % 初始化该路径走的距离为0
for i = 1:n-1
result = d(path(i),path(i+1)) + result; % 按照这个序列不断的更新走过的路程这个值
end
result = d(path(1),path(n)) + result; % 别忘了加上从最后一个城市返回到最开始那个城市的距离
end
新生成路径解
function path1 = gen_new_path(path0)
% path0: 原来的路径
n = length(path0);
% 随机选择两种产生新路径的方法
p1 = 0.33; % 使用交换法产生新路径的概率
p2 = 0.33; % 使用移位法产生新路径的概率
r = rand(1); % 随机生成一个[0 1]间均匀分布的随机数
if r< p1 % 使用交换法产生新路径
c1 = randi(n); % 生成1-n中的一个随机整数
c2 = randi(n); % 生成1-n中的一个随机整数
path1 = path0; % 将path0的值赋给path1
path1(c1) = path0(c2); %改变path1第c1个位置的元素为path0第c2个位置的元素
path1(c2) = path0(c1); %改变path1第c2个位置的元素为path0第c1个位置的元素
elseif r < p1+p2 % 使用移位法产生新路径
c1 = randi(n); % 生成1-n中的一个随机整数
c2 = randi(n); % 生成1-n中的一个随机整数
c3 = randi(n); % 生成1-n中的一个随机整数
sort_c = sort([c1 c2 c3]); % 对c1 c2 c3从小到大排序
c1 = sort_c(1); c2 = sort_c(2); c3 = sort_c(3); % c1 < = c2 <= c3
tem1 = path0(1:c1-1);
tem2 = path0(c1:c2);
tem3 = path0(c2+1:c3);
tem4 = path0(c3+1:end);
path1 = [tem1 tem3 tem2 tem4];
else % 使用倒置法产生新路径
c1 = randi(n); % 生成1-n中的一个随机整数
c2 = randi(n); % 生成1-n中的一个随机整数
if c1>c2 % 如果c1比c2大，就交换c1和c2的值
tem = c2;
c2 = c1;
c1 = tem;
end
tem1 = path0(1:c1-1);
tem2 = path0(c1:c2);
tem3 = path0(c2+1:end);
path1 = [tem1 fliplr(tem2) tem3]; %矩阵的左右对称翻转 fliplr，上下对称翻转 flipud
end
end
三、书店买书问题
主函数
%% 模拟退火解决书店买书问题
tic
rng('shuffle') % 控制随机数的生成，否则每次打开matlab得到的结果都一样
load book_data % 这个文件一定要在当前文件夹下面
% 这个数据文件里面保存了两个矩阵：M是每本书在每家店的价格; freight表示每家店的运费
[s, b] = size(M); % s是书店的数量，b是要购买的书的数量
%% 参数初始化
T0 = 1000; % 初始温度
T = T0; % 迭代中温度会发生改变，第一次迭代时温度就是T0
maxgen = 500; % 最大迭代次数
Lk = 200; % 每个温度下的迭代次数
alfa = 0.95; % 温度衰减系数
%% 随机生成一个初始解
way0 = randi([1, s],1,b); % 在1-s这些整数中随机抽取一个1*b的向量，表示这b本书分别在哪家书店购买
money0 = calculate_money(way0,freight,M,b); % 调用我们自己写的calculate_money函数计算这个方案的花费
%% 定义一些保存中间过程的量，方便输出结果和画图
min_money = money0; % 初始化找到的最佳的解对应的花费为money0
MONEY = zeros(maxgen,1); % 记录每一次外层循环结束后找到的min_money (方便画图）
%% 模拟退火过程
for iter = 1 : maxgen % 外循环, 我这里采用的是指定最大迭代次数
for i = 1 : Lk % 内循环，在每个温度下开始迭代
way1 = gen_new_way(way0,s,b); % 调用我们自己写的gen_new_way函数生成新的方案
money1 = calculate_money(way1,freight,M,b); % 计算新方案的花费
if money1 < money0 % 如果新方案的花费小于当前方案的花费
way0 = way1; % 更新当前方案为新方案
money0 = money1;
else
p = exp(-(money1 - money0)/T); % 根据Metropolis准则计算一个概率
if rand(1) < p % 生成一个随机数和这个概率比较，如果该随机数小于这个概率
way0 = way1;
money0 = money1;
end
end
% 判断是否要更新找到的最佳的解
if money0 < min_money % 如果当前解更好，则对其进行更新
min_money = money0; % 更新最小的花费
best_way = way0; % 更新找到的最佳方案
end
end
MONEY(iter) = min_money; % 保存本轮外循环结束后找到的最小花费
T = alfa*T; % 温度下降
end
disp('最佳的方案是：'); disp(mat2str(best_way))
disp('此时最优值是：'); disp(min_money)
%% 画出每次迭代后找到的最佳方案的图形
figure
plot(1:maxgen,MONEY,'b-');
xlabel('迭代次数');
ylabel('最小花费');
toc
随机一本书换随机一家书店解
function way1 = gen_new_way(way0, s, b)
% way0：原来的买书方案，是一个1*b的向量，每一个元素都位于1-s之间
index = randi([1, b],1) ; % 看哪一本书要更换书店购买
way1 = way0; % 将原来的方案赋值给way1
way1(index) = randi([1, s],1); % 将way1中的第index本书换一个书店购买
end
价格求和
function money = calculate_money(way,freight,M,b)
% 输入：way: 购买方案； fright:运费; M: 每本书在每家店的价格; b：一共要购买几本书
index = unique(way); % 在哪些商店购买了商品，因为我们等下要计算运费
money = sum(freight(index)); % 计算买书花费的运费
% 计算总花费：刚刚计算出来的运费 + 五本书的售价
for i = 1:b
money = money + M(way(i),i);
end
end
