第十五讲多元函数积分学的基础知识

本章要讲的内容主要有以下几个部分：
$\begin{cases}向量代数\\空间平面与直线\\空间曲线与曲面\\\color{red}{多元函数微分学的几何应用}\\\color{red}{场论初步}\end{cases}$

向量代数

既有大小又有方向的量称为向量
向量的自由性：只要大小相等，方向相同，则称这两个向量相等

向量的运算及应用：
设 $a=(a_x,a_y,a_z),b=(b_x,b_y,b_z),c=(c_x,c_y,c_z)$ ，a,b,c均不是零向量
1.数量积(点积、内积)及其应用：
$a\cdot b=(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$
$a\cdot b = |a||b|\cos\theta$ ， $\theta$ 为a,b夹角，则
$\cos\theta=\frac{a\cdot b}{|a|*|b|}=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$
$a\perp b\Leftrightarrow\theta=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow a\cdot b=|a||b|\cos\theta = 0$
$Prj_ba=\frac{a\cdot b}{|b|}=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$ 称为a在b上的投影
2.向量积(叉积、外积)及其应用：
$a\times b=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$
$|a\times b|= |a||b|\sin\theta$ ，用右手规则确定方向，其中 $\theta$ 为a,b夹角
$a// b\Leftrightarrow\theta =0,\pi\Leftrightarrow\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}$
3.混合积及其应用
$[abc]=(a\times b)\cdot c=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}$
$[abc]=0\Leftrightarrow$ 三个向量共面
向量的方向角和方向余弦
称向量a与x轴、y轴和z轴正方向的夹角 $\alpha,\beta,\gamma$ 为a的方向角
1. $\cos\alpha=\frac{a_x}{|a|},\cos\beta=\frac{a_y}{|a|},,\cos\gamma=\frac{a_z}{|a|},$
2.单位向量: $a^{\circ}=\frac{a}{|a|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$
3.任意向量a都可以写成 $\begin{align} r&=xi+yj+zk\\ &=(|r|\cos\alpha,|r|\cos\beta,|r|\cos\gamma)\\ &=|r|(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) \end{align}$ 的形式

空间平面和直线

平面方程
假设平面的法向量 $n=(A,B,C)$
一般式： $Ax+By+Cz+D=0$
点法式： $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
截距式： $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ ，其中a,b,c分别为平面在x轴、y轴和z轴上的截距
直线方程
假设直线的方向向量 $\tau=(l,m,n)$
一般式： $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1,n_1=(A_1,B_1,C_1)\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2,n_2=(A_2,B_2,C_2)\end{cases}$ ，其中 $n_1$ 不平行于 $n_2$ ，(两个平面的交线)
点向式： $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ ，(与该直线上某点构成的向量与方向向量平行)
两点式： $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$
位置关系
点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离
$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
直线之间的位置关系：
设直线 $L_1,L_2$ 的方向向量分别为： $\tau_1=(l_1,m_1,n_1),\tau_2=(l_2,m_2,n_2)$ ，则
$L_1\perp L_2\Leftrightarrow \tau_1\perp\tau_2\Leftrightarrow l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0$
$L_1//L_2\Leftrightarrow\tau_1//\tau_2\Leftrightarrow\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}$
平面之间的位置关系：
设平面 $\pi_1,\pi_2$ 的法向量分别为
$n_1=(A_1,B_1,C_1),n_2=(A_2,B_2,C_2)$ ，则
$\pi_1\perp\pi_2\Leftrightarrow n_1\perp n_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
$\pi_1//\pi_2\Leftrightarrow n_1//n_2\Leftrightarrow\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$
平面与直线之间的位置关系：
设直线L的方向向量 $\tau=(l,m,n)$ ，平面 $\pi$ 的法向量 $n=(A,B,C)$ ，则
$L\perp\pi\Leftrightarrow\tau//n\Leftrightarrow\frac{l}{A}=\frac{m}{B}=\frac{n}{C}$
$L//\pi\Leftrightarrow\tau\perp n\Leftrightarrow Al+Bm+Cn=0$

空间曲线与曲面

曲线方程：
一般式： $\Gamma=\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$ ，即两个曲面的相交线
参数方程： $\Gamma=\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases},t\in[\alpha,\beta]$
空间曲线在坐标平面上的投影： $\color{red}{(重要等级三颗星)}$
这里以求曲线 $\Gamma$ 在 $xOy$ 平面上的投影曲线为例，将 $\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$ 中的 $z$ 消去，得到 $\varphi(x,y)=0$ ，则曲线 $\Gamma$ 在 $xOy$ 平面上的投影曲线包含于曲线 $\begin{cases}\varphi(x,y)=0\\z=0\end{cases}$
(注：这里之所以要说是包含于，是因为曲线的投影可能会有重叠)
常见的二次曲面：

椭球面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

椭球面

(但一般常见的是 $a=b=c$ 的情况，也就是常考的一般是球面)
单叶双曲面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

单叶双曲面

(这种方程通常在线性代数中考)
双叶双曲面： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

双叶双曲面

(这种方程同样也是在线性代数中经常出现)
椭圆抛物面： $\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z,(p,q\gt 0)$

椭圆抛物面

(常见的考题一般是令 $p=q=\frac{1}{2}$ ，即 $x^2+y^2=z$ 的方程，也就是旋转抛物面)
椭圆锥面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$

椭圆锥面

(一般只考常见的旋转锥面，方程式为 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ ，这样的方程只有z轴正半轴有图像，或者 $z^2=x^2+y^2$ )
双曲抛物面(马鞍面)： $z=xy$

马鞍面

抛物柱面
柱面：动直线沿着固定曲线平行移动所形成的曲面
常见的柱面：
1.椭圆柱面： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
2.双曲柱面： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
3.抛物柱面： $y=ax^2$
在空间解析几何中，一般认为方程中缺少哪个变量，方程对应的柱面就平行于哪个坐标轴
旋转曲面

在上图中，设曲线 $\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$ ，绕方向向量为 $\vec{\tau}(l,m,n)$ 的直线L: $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ 旋转，， $M(x_1,y_1,z_1)$ 为曲线 $\Gamma$ 上的一点， $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 为直线L上的一点，求旋转曲面的方程
设旋转曲面上的点 $P(x,y,z)$ ，则可以列出下列三条线索：
$\begin{cases}|\vec{MP_0}|=|\vec{PP_0}|\\\vec{MP}\perp\vec{\tau}\\M在曲线\Gamma上\end{cases}$
将其转换成方程组：
$\begin{cases}(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2 \\= (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\\l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0\\\begin{cases}F(x_1,y_1,z_1)=0\\G(x_1,y_1,z_1)=0\end{cases}\end{cases}$
消去上列方程组中的 $x_1,y_1,z_1$ 即可得到旋转曲面的方程

例题
求直线 $L:\begin{cases}x-y+2z-1=0\\x-3y-2z+1=0\end{cases}$ ，绕y轴旋转一周所形成的曲面方程
设直线上的一点 $M(x_1,y_1,z_1)$ ，曲面上的一点 $P(x,y,z)$ 为与M在同一横截面上的一点，则有
令y轴上一点 $P_0(0,0,0)$ ，则可得方程式
$\begin{cases}x_1^2+y_1^2+z_1^2=x^2+y^2+z^2\\y=y_1\\\begin{cases}x_1-y_1+2z_1-1=0\\x_1-3y_1-2z_1+1=0\end{cases}\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x_1^2+y_1^2+z_1^2=x^2+y^2+z^2\\y=y_1\\\begin{cases}x_1=2y_1\\z_1=\frac{1-y_1}{2}\end{cases}\end{cases}$
曲面方程为： $4x^2-17y^2+2y+4z^2-1=0$

多元函数微分学的几何应用

空间曲线的切线与法平面 $\color{red}{(重要等级一颗星)}$
设空间曲线 $\Gamma$ 由参数方程 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases}$ ，给出，其中 $\varphi(t),\psi(t),\omega(t)$ 均可导， $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 是 $\Gamma$ 上的点，且当 $t=t_0$ 时， $\varphi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0)$ 均不为零，则
曲线 $\Gamma$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为 $\color{red}{\vec{\tau}=(\varphi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0))}$ ；
曲线 $\Gamma$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切线方程为:
$\frac{x-x_0}{\varphi'(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega'(t_0)}$
曲线 $\Gamma$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的法平面(过点 $P_0$ 且与切线垂直的平面)：
$\varphi'(t_0)(x-x_0)+\psi'(t_0)(y-y_0)+\omega'(t_0)(z-z_0)=0$

例题
求空间曲线 $\Gamma:\begin{cases}x=\int_0^te^u\cos udu\\y=2\sin t+\cos t\\z=1+e^{3t}\end{cases}$ ，在 $t=0$ 处的切线方程和发平面方程
解：参数求导 $\begin{cases}x_t'=e^t\cos t\\y_t'=2\cos t-\sin t\\z'_t=3e^{3t}\end{cases}$
$\therefore t=0$ 处切线的方向向量为 $(1,2,3)$
$t=0$ 时，曲线上的点为 $(0,1,2)$
切线方程为： $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$
法平面方程为： $(x-0)+2(y-1)+3(z-2)=0$

空间曲面的切平面与法线 $\color{red}{(重要等级三颗星)}$
设空间曲面 $\Sigma$ 由方程 $F(x,y,z)=0$ 给出， $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 是 $\Sigma$ 上的点，则：
曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量(垂直于该点切平面的向量)为：
$\color{red}{\vec{n}=(F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0))}$
曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的法线方程为：
$\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}$
曲面 $\Sigma$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面为：
$F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)$
$+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
注：
如果曲面方程为 $z=f(x,y)$ ，则令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z$ ；这的话，曲面方程对 $z$ 求偏导就为 $-1$ ，即法向量与 $z$ 轴正半轴成钝角，但如果题目中有明确指出法向量与 $z$ 轴正半轴成锐角，则令 $F(x,y,z)=z-f(x,y)$

例题
设直线 $L:\begin{cases}x+y+b=0\\x+ay-z-3=0\end{cases}$ 是平面 $\pi$ 上的一条直线，平面 $\pi$ 与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切于点 $(1,-2,5)$ ，求 $a,b$ 的值
解：令曲面方程为 $F(x,y,z)=x^2+y^2-z$
故平面 $\pi$ 的法向量为 $(F'_x(1),F'_y(-2),-1)=(2,-4,-1)$
平面 $\pi$ 的方程为 $2x-4y-z-5=0$
而直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上，故
$\begin{cases}x+y+b=0\\x+ay-z-3=0\\2x-4y-z-5=0\end{cases}$
联立得： $\color{red}{(待定系数法求解)}$
$(5+a)x+4b+ab-2=0$
因为 $x$ 是一个变量，欲使上式恒等于0，则有
$\begin{cases}5+a=0\\4b+ab-2=0\end{cases}$
故 $a=-5,b=-2$

场论初步

方向导数：
在许多问题中，不仅需要知道函数沿着坐标轴方向的变化率，而且有时候还需要知道函数某点在沿着某一特定方向的变化率，这就是所谓的方向导数。

方向导数的定义：
设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某个空间邻域 $U\subset R^3$ 内有定义， $l$ 为从点 $P_0$ 出发的射线， $P(x,y,z)$ 为 $l$ 上且在 $U$ 内的任意一点，则
$\begin{cases}x-x_0=\Delta x=t\cos\alpha\\y-y_0=\Delta y=t\cos\beta\\z-z_0=\Delta z=t\cos\gamma\end{cases}$
其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为 $l$ 的单位向量
以 $t=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}$ 表示 $P$ 与 $P_0$ 之间的距离，若极限：
$\lim_{t\to 0^+}\frac{u(P)-u(P_0)}{t}=$
$\lim_{t\to 0^+}\frac{u(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-u(x_0,y_0,z_0)}{t}$
存在，则称此极限为函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $l$ 的方向导数，记作 $\frac{\partial u}{\partial l}|_{P_0}$
方向导数的一般计算公式：
设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处可微分，则 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 处沿任一方向 $l$ 的方向导数都存在，且
$\frac{\partial u}{\partial l}|_{P_0}=u'_x(P_0)\cos\alpha+u'_y(P_0)\cos\beta+u'_z(P_0)\cos\gamma$
其中 $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 为方向 $l$ 的方向余弦
梯度：
设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处具有一阶偏导数，则定义
$grad\space u|_{P_0}=\lbrace u'_x(P_0),u'_y(P_0),u'_z(P_0)\rbrace$
因此，函数u在 $P_0$ 处的方向导数可以写成
$\frac{\partial u}{\partial l}|_{P_0}=grad\space u|_{P_0}\cdot (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$
$=grad\space u|_{P_0}\cdot l^{\circ}$
$=|grad\space u|_{P_0}|\cdot|l^{\circ}|\cdot\cos\theta$
$=|grad\space u|_{P_0}|\cos\theta$
推论：从上面的公式可以得知，函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而他的模为最大方向导数的模
散度与旋度
设向量场 $A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ ，则
散度：
div $A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
旋度：
rot $A=\begin{vmatrix}i&j&k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}$

第十五讲 多元函数积分学的基础知识

向量代数

空间平面和直线

空间曲线与曲面

多元函数微分学的几何应用

场论初步

第十五讲多元函数积分学的基础知识