Python "%"取余操作 包含负数情况

参考资料：

python中取余%
python中的整除 // 中的坑
PYTHON中三种取整函数（// int round）的区别

现象

当Python的取余操作涉及负数时，会产生很神奇的现象：

\left\{\begin{matrix} 5\%3=2 \\ 5\%-3 =-1 \\ -5\%3=1 \\ -5\%-3 =-2 \end{matrix}\right.

Python中的取余操作 "%"

经过百度找到[1],得到取余操作为：

def mod(a, n):
    return a - n * (a // n)

但是这并不能解释为什么会有两种绝对值，于是又去搜了一下整除操作

Python中的整除操作 "//"

在经过百度找到[2]与[3]，得知Python中的几种取整操作:

  • // 向下取整，方向向负无穷
  • int() 去除小数点后部分，方向向零
  • round() 四舍五入取整

对于负数表现为下：

print(-11//2)
print(int(-5.5))
print(round(-5.5))

-6
-5
-6

结论与分析

结论

将%之前的数称为被取余数，之后的数称为取余数，只考虑除不尽时，则有：

  1. 取余结果的正负 与 取余数的正负 相同
  2. 被取余数与取余数符号相同时， 取余结果为一对相反数；
    被取余数与取余数符号相反时， 取余结果为另一对相反数
  3. 以上两对相反数的绝对值之和 为取余数的绝对值

分析

设 a // n = c , 则有c \leqslant a/n （向下取整）

性质一：

  • 当n>0时，有 cn\leqslant a
  • 当n<0时，有 cn\geqslant a

性质二：

  • 当a与n同号时，c_{1}=c_{2} \geqslant 0
  • 当a与n异号时，c_{3}=c_{4} \leqslant 0
  • 当除尽时，有|c_{1}|=|c_{3}|
  • 除不尽时，有|c_{1}|+1=|c_{3}|

取余公式

r=a-n(a//n)=a-cn

证明结论一：

  • 当n>0时，r=a-cn \geqslant 0
  • 当n<0时，r=a-cn \leqslant 0

证明结论二：

设
\left\{\begin{matrix} r_{1}=a_{1}-c_{1}n_{1} \\ r_{2}=a_{2}-c_{2}n_{2} \end{matrix}\right.

分别考虑a与n同号或异号时，均有：
\left\{\begin{matrix} a_{1}= -a_{2} \\ n_{1}= -n_{2} \\ c_{1}= c_{2} \end{matrix}\right.

故：
r_{1} = a_{1}-c_{1}n_{1}\\ =-a_{2}+c_{2}n_{2} \\ =-r_{2}

证明结论三：

沿用性质二，设
\left\{\begin{matrix} r_{1}=a_{1}-c_{1}n_{1} \\ r_{3}=a_{3}-c_{3}n_{3} \end{matrix}\right.

且有
\left\{\begin{matrix} a_{1}>0 \\ n_{1}>0 \\ a_{1}= -a_{3} \\ n_{1}= n_{3} \end{matrix}\right.

则有
r_{1}+r_{3}=-(c_{1}+c_{3})n_{1}=n_{1}(除不尽情况下)

如何口算得到结果

有了以上结论，我们就可以口算得到结果：

确定值

  • 被取余数与取余数同号， |r_{1}|=|a| // |n|
  • 被取余数与取余数异号， |r_{3}|=|n|-|r_{1}|

确定符号

有了以上的值，再根据n的符号确定正负

一个小例子

mod(7,6)

  1. 符号相同时，|r_{1}|=7\%6=1
    符号相反时，|r_{3}|=6-1=5
  2. 判符号，得
    \left\{\begin{matrix} 7\%6=1 \\ -7\%6 =5 \\ 7\%-6=-5 \\ -7\%-6 =-1 \end{matrix}\right.
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