本文总结之日CS224W Winter 2021只更新到了第四节，所以下文会参考2021年课程的PPT并结合2019年秋季课程进行总结以求内容完整
课程主页：CS224W: Machine Learning with Graphs
视频链接：【斯坦福】CS224W：图机器学习( 中英字幕 | 2019秋)
1 引言
前面两节，讨论的网络的整体统计信息，这一节开始聚焦网络中的一些特殊结构（子图）和其中节点的的角色。
2 一些新概念
在深入学习本节前，需要先理解几个关键概念。
- 子图/子网络（Subgraph/Subnetwork）
- motifs
- graphlet
- （节点的）结构性角色（structural rols）
2.1 子图Subgraph/子网络/Subnetwork
定义：字面上就可以理解，就是网络中的一部分节点和它们之间的边。
重要性（why）：我们可以借助子图挖掘出图的一部分性质和信息。
例如，对不同类型的网络统计三个节点的各类子图出现的频次，得到不同网络的重要性概览（Network significance profile）。同类网络，有相似的子图分布。有的子图低于平均，有的高于平均。顺带一提高于平均的是下面要介绍的motifs。
2.2 motifs
定义：（what）一类特殊子图的统称，它具有如下特点:
pattern：小的诱导子图（Small induced subgraph）。
-
诱导induced表示节点之间的连接都包含在内。
-
recurring：高频出现
significant：重要指比预想（随机图）中出现的频率更高。
其他特点：
- 同一类motifs 之间，诱导子图的边必须完全一致。多一条边改个方向都不行
- 不同 motifs 之间可以重叠。
重要性（why）
- 帮助我们理解网络，理解不同节点之间关系。描述了节点间交互模式，通过模式匹配去理解网络。
如何衡量重要性（how）
因为Motifs 的定义要求Motif出现频率要更高，更重要。因此可以通过与随机网络中的Motifs数进行对比，以衡量真实网络中一种子图的显著性。具体通过下面的公式进行：
因为，通常更大规模的网络有更高的Z值。因此，为了更方便在不同规模的网络之间进行比较，通过标准化之后的Z值的向量SP的方式解决。如上图所示。
关键问题 —— 随机网络怎么生成？
配置模型：根据给定的度序列k_1, k_2, …, k_N生成随机图，用来与真实网络进行对比。通常称为零模型（null model）
生成配置模型的两种方式：
- 随机连接： 该方法生成的随机图，因为会忽略重边和自连接，故同一节点的度会发生改变。但根据《网络科学引论》的p275 。当网络规模足够大时，网络中的自边和重边的平均数将会趋于常数。
- 随机交换： 随机选择一对边，然后重连两个边，交叉两个点。生的随机图的节点的度，不发生改变。但计算的代价会较高，运行慢。为了保证随机图的随机性，需要运行的次数为 Q * E 次，其中Q应尽可能的大，如100。
获取具有相同节点数，边数，节点度数的随机图之后，我们就可以计算子图的
值。高值说明该子图是图G的一个Motif。
将一组子图的Z值作为网络的特征向量，我们就得到了上面展示的对比图1。
2.3 Graphlets
-
非同构子图单元，是一类特殊的子图。Graphlets是对motif的扩展。它与motifs的区别：
motif是从
全局的角度来描述图的。用不同motifs来构成一个图的向量表示。而Graphlet是从
局部(节点)的角度出发来描述节点。用不同graphlet中的节点相对位置（局部信息），来形成一个节点的向量表示。
2.3.1 同构图 （isomorphic graph）
可以参考知乎上的解释： 怎么理解图的同构?怎么判断两个图是否同构？ - 少文的回答 - 知乎
这里给出图论上的定义：
在图论中，假设G=(V,E)和G1=(V1，E1)是两个图，如果存在一个双射m：V→V1，使得对所有的
均有
等价于
，则称G和G1是同构的。
简单的说，两个同构图，节点和边一致，且存在一个一一映射使得每个节点相互对应。
2.3.2 非同构子图集
不同节点数的子图可以构成的非同构子图数量不同，节点越多，非同构子图数量呈指数增加。如下图， 可以看到，不同颜色的点，代表相对位置不同类型的点。
2.3.3 Graphlet degree vector（GDV）
通过计算一个节点所在的Graphlets中不同的非对称位置，可以对节点附近的局部结构进行衡量。
GDV的定义：一个节点所在位置的频率组成的向量。
2.4 如何获得motifs和graphles（how）
可将问题拆解为两步：
1.枚举所有大小为k的子图。
2.计算这些子图出现的次数。
- 这里涉及子图同构的判断，是一个 NP-complete问题，计算困难。通常，子图的大小选择在 3到8个点。
第一步：Extract Subgraph Enumeration(ESU)
为了枚举所有大小为k的子图，老师介绍了ESU算法。ESU算法[Wernicke 2006]中的两个集合：
-
: 目前已经构造的子图
-
: 用于扩展子图的候选节点集合
算法思想：每个节点分配唯一序号，从一个节点 开始，添加符合以下性质的节点 到：
-
的节点编号必须大于
-
的邻居，不能是任何
算法是一个递归算法，运行过程呈现为一个深度为 k 的树，被称作
ESU-tree。
第二步：Extract Subgraph Enumeration(ESU)
为了计算这些子图出现的次数，因为涉及到如何判断图与图之间是否同构，可使用 McKay’s nauty 算法 [McKay 1981]。
即若图G中任意一对邻接的节点 u 和 v ，在图H中都有f(u)和f(v)邻接，则图G和图H同构。
n个节点的两个同构图判断，需要次计算，计算量很大。
通过上面两步我们可以得到图的 motifs 和 graphlet和对应GDV。
3 总结
本节，为了研究网络的结构特性，通过定义了motif 和 graphlet 两类子图，从不同角度对图的拓扑性质进行了研究。
其中，GDV 算是早期node embedding的一种。
