【科普】芝诺悖论&芝诺的乌龟

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2019年6月专题

这是一个关于极限问题的悖论。

芝诺

Zeno of Elea，芝诺，古希腊哲学家、数学家，大约生于公元前490年，卒于公元前425年。
芝诺提出了很多知名的逻辑悖论，这些悖论由于被亚里士多德记录在《物理学》一书中而广为流传。

芝诺

最知名的四个芝诺悖论是：

1. 二分法悖论。

要走完一段路程，就要先走完它的一半，而要走完这一半路程，就要先走完一半的一半（即四分之一），要走完这一半的一半，就要走完一半的一半的一半...对于如此无穷多的路，人是永远也走不完的。

2. 阿基里斯追不上乌龟赛悖论。

阿基里斯（阿喀琉斯）是海洋女神忒提斯（Thetis）和英雄珀琉斯（Peleus）之子，具有超人的体力。但是如果乌龟先跑了一段路程，那么阿基里斯要追上乌龟就必须把这段路程跑完，而阿基里斯跑完这段路程之后，乌龟又爬出了新的路程，仍然领先。尽管每次乌龟领先的路程越来越短，阿基里斯追完上一段路程用的时间越来越少，但即使是无限小，那么乌龟也永远领先于阿基里斯。

3. 飞矢不动悖论。

一只飞在空中的箭，在时间最小单位（一瞬间）中看，由于时间无穷小，所以在这个时间的开始和结束点，箭的位置是相同的。既然在极小的时间中箭是不动的，所以2个极小时间内箭也是不动的，3个极小时间内也是....无穷多个极小时间组成了一分钟一小时，所以箭总是不动的。

4. 游行队伍悖论。

假设三个人ABC站一起，A不动，在极小时间内B向左走一步，C向右走一步。那么这时候，C距离A是一步远，C距离B是两步远，那么悖论就在于C怎么能在同样的一个极小时间内既走出一步，又走出两步？

第四个游行队伍悖论最扯，运动的参照物不同导致相对速度的不同，问题很明显。接下来我们着重讨论另外三个悖论。

阿基里斯和乌龟

二分法悖论和阿基里斯追乌龟悖论本质是一样的，我们把它们放在一起解释。

如下图，初始时候乌龟位于领先位置P1，人位于落后位置P0。人跑到P1的时候，乌龟又跑到了P2；人跑到P2，乌龟跑到P3，以此类推，乌龟总是领先的。

我们假设阿基里斯的速度是乌龟的2倍，那么依照悖论，乌龟总是领先阿基里斯上一段路程的二分之一。那么就有：

$P_1-P_0=1$
$P_2-P_1=\frac{1}{2}$
$P_3-P_2=\frac{1}{4}$
$P_4-P_3=\frac{1}{8}$
$...$

如果我们把这些距离相加，就得到总路程S：

$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...$

那么问题来了，路程S是否是无限长？
当然不是，我们从图上都能看得出来 $P_n$ 是个固定位置。

我们来用替换法表示一下这个式子：
$\begin{align} S&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...\\ &=1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{8})...\\ &=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}...\\ &=1+1-无穷小\\ &=2 \end{align}$

也就是在两倍初始差距的位置，阿基里斯就会追上乌龟。——其实这个道理很明显，阿基里斯速度是乌龟的2倍，乌龟爬1个路程，阿基里斯跑完2个路程，恰好追上。这完全符合常识，没有悖论。

还是刚才那张图

那么芝诺如何得到阿基里斯永远追不上乌龟的奇葩结论的呢？

我们假设，阿基里斯用1分钟从 $P_0$ 跑到 $P_1$ ，用 $\frac{1}{2}$ 分钟从 $P_1$ 跑到 $P_2$ ，用 $\frac{1}{4}$ 分钟从 $P_2$ 跑到 $P_3$ ...以此类推，芝诺认为 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...$ 这么多时间是无穷大的，永远跑不完的。