皮亚诺曲线是**一种能够填满整个正方形空间的连续曲线**。
皮亚诺曲线是由意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano）在1890年提出的，它通过一个递归的过程构造出来，这个过程可以从一个直线段开始，然后不断地用更小的生成元来替代线段中的部分，最终得到一条可以覆盖整个正方形区域的连续曲线。具体来说：
1. **构造过程**：从一条直线段出发，这条线段被视为初始元素。然后，使用一个生成元来替代这条线段的一部分，生成元通常包含两个自交叉的点。重复这个过程，每次都缩小尺度，将生成元应用于前一步得到的曲线上，直至填满整个正方形区域。
2. **数学意义**：皮亚诺曲线展示了一种非常特殊的性质，即一维空间（线段）到二维空间（正方形）的连续映射，这意味着曲线上的每一个点都对应着区间[0,1]内的一个数，且这种对应关系是连续的。
3. **应用与影响**：皮亚诺曲线在数学领域中有着重要的地位，它不仅是集合论和拓扑学中的一个重要例子，也对后来的数学家如希尔伯特（David Hilbert）产生了启发，他提出了类似的希尔伯特曲线。
综上所述，皮亚诺曲线是一个在数学历史上具有里程碑意义的发现，它不仅证明了可以通过一条连续的曲线填充一个二维空间，还揭示了维度之间复杂的关系，对后续的数学研究产生了深远的影响。
