1. 概述
那么开始第二期，介绍凸锥和常见的集合，这期比较短(
因为公式打得太累了)，介绍凸集和凸锥与仿射集的意义在哪呢，为的就是将很多非凸集合转化为凸集的手段，其中，又以凸包（包裹集合所有点的最小凸集）为最常用的手段，在细节一点，闭凸包（闭合的凸包）是更常用的手段。
2. 凸锥（convex cone）：
2.1 定义
（1）锥（cone）定义：对于集合则x构成的集合称为锥。说明一下，锥不一定是连续的（可以是数条过原点的射线的集合）。
（2）凸锥（convex cone）定义：凸锥包含了集合内点的所有凸锥组合。若,
，则
也属于凸锥集合C。这里说明一下，就是说一个集合既是凸集又是锥，那么就是凸锥（
废话）。
（3）凸锥包（convex cone hull）定义：凸锥包是包含C的最小的凸锥，假设，凸锥包表示为：
3. 常用凸集
3.1 常用集合
| 集合 | 是否属于凸集、仿射集、凸锥 |
|---|---|
| 点 | 凸集、仿射集，不一定是凸锥（在原点上是凸锥） |
| 空集 | 凸集、仿射集、凸锥 |
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凸集、仿射集、凸锥 |
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凸集、仿射集、凸锥 |
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凸集、仿射集、不一定是凸锥（过原点上是凸锥） |
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凸集、仿射集(是点的时候)、凸锥（过原点时） |
以上是比较简单的集合，接下来来看看稍微复杂的常用集合。
（1）超平面：，其中a和x为n维向量，b为常数。解释一下就是，想想初中学的直线为
,高中学的平面为
。拓展到n维空间就是超平面啦。超平面是凸集、仿射集，只有在过原点的时候是个凸锥。
（2）球：,即点到圆心的距离的二范数小于半径的点构成的集合。那么解释一下二范数的求法：
。球是凸集、当是个点的时候是仿射集、凸锥。
（3）椭球：,其中P为正定对称矩阵，正定就是其特征值全大于0.相关概念不再赘述。同理，椭球是凸集，当是个点的时候是仿射集、凸锥。
（4）多面体（polyhedron）：，多面体由半空间与超平面的交集组成。依旧是凸集。
（5）单纯形（simplex）：特殊多面体，则构成单纯形为
。看起来比较绕，其实想想就明白了，就是找两两组合起来构成的线不平行的点，然后找这些点的凸包集合。当然有一种情况需要说明，就是在
空间中，由于无法找到n+1个向量线性无关，所以点也是有个数限制的。即不超过n+2个。举个例子，就是二维空间中，不存在四边形的单纯形，三维空间没有五面体的单纯形。
（6）这里开始介绍三个不太能想像出具体形式的集合，对称矩阵集合，是凸锥。
（7）对称半正定矩阵集合来简单证明一下它是凸锥，半正定矩阵有个特点，假设半正定矩阵A，则有
,那么证明开始，有两个矩阵A、B集合在C中，满足
则
显然成立，得到
仍在集合C中，得证。
（8）对称正定矩阵集合，
（其实表示正定有个数学符号，表示其特征值大于0,和大于号很像，但是markdown我不会打那个符号），不是凸锥！，具体看（7）的证明，这里（1）式依旧成立，但是无法满足大于0,因为当两个参数为0时就会有等于0的情况。反例也可以找到，当n=1时，此矩阵集合则变为了
显然不包含原点，则不是凸锥。
那么这次写到这里，下次介绍啥呢（其实我想跳一跳的）。
