宏观经济预测（1）：VAR模型的贝叶斯估计（一）

宣添翼，青海大学，xuantianyi2022@163.com

「本篇讲稿的参考文献：Applied Bayesian Econometrics for Central Bankers」

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今天给大家介绍VAR模型的贝叶斯估计的理论部分

一、引言：

这一节给大家介绍向量自回归模型(VARs) 的贝叶斯估计方法。这一类模型的估计通常涉及大量参数。因此，在规模较大的模型中，对我们所要研究对象（如脉冲响应函数和预测）的估计可能变得不精确。这时候可以通过将先验信息纳入估计过程，使用贝叶斯方法获得的估计结果通常比使用标准经典方法获得的估计更精确。此外，Gibbs抽样等贝叶斯模拟方法提供了一种有效的方法，不仅可以获取点估计，还可以描述这些点估计周围的不确定性。因此，我们今天专注于学习通过Gibbs抽样来估计VAR模型的参数的理论部分。
一个p阶滞后的VAR模型可以表示为：
$Y_t=c+B_1Y_{t-1}+B_2Y_{t-2}...B_PY_{t-P}+v_t$
$E\left( v_{t}^{'}v_s \right) =\varSigma \,\, if\,\,t=s$
$E\left( v_{t}^{'}v_s \right) =0 if\,\,t=s$
$E\left( v_t \right) =0$
其中 $Y_t$ 是内生变量，c是一个常数项， $v_t$ 表示均值为0，方差为 $\varSigma$ 的正态分布
VAR模型方程可以简化为：
$Y_t=X_tB+v_t\,\,$
$X_t=\left\{ c_i,Y_{it-1},Y_{it-2}...,Y_{it-p} \right\}$
此外，由于VAR模型中的每个方程都有相同的回归系数，因此可以将其改写为
$y=\left( I_N\otimes X \right) b+V$
其中
$y=vec\left( Y_t \right) ,b=vec\left( B \right) ,V=vec\left( v_t \right)$

二、VAR模型的Gibbs抽样算法

VAR模型的Gibbs抽样算法包括以下步骤:
Step1: 为VAR系数和协方差矩阵设置先验。设定VAR模型的先验系数b是服从正态分布的，分布函数为 $p\left( b \right) ~N\left( \tilde{b}_0,H \right)$ ，残差协方差矩阵 $\varSigma$ 的先验是服从逆Wishart分布的，并使用最小二乘法估计出 $\varSigma$ 的初始值
Step2：从条件后验分布函数 $H\left( b|\varSigma ,Y_t \right) \sim N\left( M^{\ast},V^{\ast} \right)$ 中抽样VAR系数
$\underset{\left( N\times \left( N\times P+1 \right) \right) \times 1}{M^{\ast}}=\left( H^{-1}+\sum\nolimits_{}^{-1}{\otimes X_{t}^{'}}X_t \right) ^{-1}\left( H^{-1}\hat{b}_0+\sum\nolimits_{}^{-1}{\otimes X_{t}^{'}}X_t\hat{b} \right) ^{-1}$
$\underset{\left( N\times \left( N\times P+1 \right) \right) \times \left( N\times \left( N\times P+1 \right) \right)}{V^{\ast}}=\left( H^{-1}+\sum\nolimits_{}^{-1}{\otimes X_{t}^{'}}X_t \right) ^{-1}$
当 $M^{\ast}$ 和 $V^{\ast}$ 算出来了以后，VAR系数就能从正态分布中提取出来。
$\underset{\left( N\times \left( N\times P+1 \right) \right) \times 1}{b^1}=\underset{\left( N\times \left( N\times P+1 \right) \right) \times 1}{M^{\ast}}+\left[ \underset{\left( 1\times N\times \left( N\times P+1 \right) \right)}{\bar{b}}\times \underset{\left( N\times \left( N\times P+1 \right) \right) \times \left( N\times \left( N\times P+1 \right) \right)}{\left( V^{\ast} \right) ^{1/2}} \right]$
Step3: 从条件分布函数 $H\left( \varSigma |b,Y_t \right) \sim IW\left( \bar{\varSigma},T+\alpha \right)$ 中提取 $\varSigma$ 。其中 $\bar{\varSigma}=\bar{S}+\left( Y_t=X_tB^1 \right)^\left( Y_t=X_tB^1 \right)$ 。 $B^1$ 为之前提取的VAR系数矩阵重组为 $\left( N\times P+1 \right) \times N$ 的矩阵。
Algorithm 1：为了从自由度为v，尺度参数为S的IW分布中提取出 $\hat{\varSigma}$ ，首先要从多元正态分布 $N\left( 0,S^{-1} \right)$ 中提取出矩阵 $\underset{\left( v\times n \right)}{Z}$ ，然后通过以下变换从逆Wishart分布中提取 $\hat{\varSigma}$ ：
$\hat{\varSigma}=\left( \sum_{i=1}^v{Z_iZ_{i}^{'}} \right) ^{-1}$
重复step2 和step3，执行M次以后获得 $B^1...B^M$ 以及 $\varSigma ^1...\varSigma ^M$ 。通过M次迭代后取得的 $B$ 和 $\varSigma$ 的终值用于形成这些参数的经验分布。请注意，模型参数的提取（在老化期之后）通常用于计算预测或脉冲响应函数，并对收集要处理的统计数据构建分布函数。
总体来说，VAR模型的Gibbs抽样算法与线性回归模型所采用的算法非常相似。事实证明，关键区别在于，在 VAR 模型中设置先验是一个跟线性回归案例相比更结构化的过程。
下一节，我们来学习一些关于VAR模型的经典文献中所提出的先验分布，以及使用Gibbs抽样算法来提取参数是如何通过MATLAB来实现的。后续我们将使用双变量VAR(2)模型作为示例，具体表达式如下所示：
$\left( \begin{array}{c} y_t\\ x_t\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \end{array} \right) +\left( \begin{matrix} b_{11} b_{12}\\ b_{21} b_{22}\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} y_{t-1}\\ x_{t-1}\\ \end{array} \right) +\left( \begin{matrix} d_{11}& d_{12}\\ d_{21}& d_{22}\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} y_{t-2}\\ x_{t-2}\\ \end{array} \right) +\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right)$
$var\left( \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ \end{array} \right) =\varSigma =\left( \begin{matrix} \varSigma _{11}& \varSigma _{12}\\ \varSigma _{21}& \varSigma _{22}\\ \end{matrix} \right)$

Reference

Applied Bayesian Econometrics for Central Bankers

最后编辑于：2022.05.27 14:56:05

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二、VAR模型的Gibbs抽样算法

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