第九章 动态规划part07
198.打家劫舍
思路
- 当前房屋偷与不偷取决于前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。所以，当前状态和前面状态会有一种依赖关系，那么这种依赖关系都是动规的递推公式。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。 - 确定递推公式
决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。
如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。
如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考 虑i-1房。
然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]); - dp数组如何初始化
从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]
从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]); - 确定遍历顺序
dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历 -
举例推导dp数组
以示例二，输入[2,7,9,3,1]为例。
image.png
// 动态规划
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
if (nums.length == 1) return nums[0];
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(dp[0], nums[1]);
for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
}
return dp[nums.length - 1];
}
}
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
//使用滚动数组进行优化
if(nums.length == 1) return nums[0];
int[] dp = new int[2];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
int res = 0;
for(int i = 2; i < nums.length; i++){
res = Math.max(dp[0] + nums[i], dp[1]);
dp[0] = dp[1];
dp[1] = res;
}
return dp[1];
}
}
213.打家劫舍II
思路
- 和198的区别是成环了
- 对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
- 情况一：考虑不包含首尾元素
- 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素
- 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素
- 而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。
- 对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if(nums.length == 0) return 0;
if(nums.length == 1) return nums[0];
int len = nums.length;
int result1 = robRange(nums, 0, len - 2); //情况二
int result2 = robRange(nums, 1, len - 1); //情况三
return Math.max(result1, result2);
}
private int robRange(int[] nums, int start, int end) {
if(end == start) return nums[start];
//使用滚动数组进行优化
if(nums.length == 1) return nums[0];
int[] dp = new int[2];
dp[0] = nums[start];
dp[1] = Math.max(nums[start], nums[start + 1]);
int res = 0;
for(int i = start + 2; i <= end; i++){ //注意这个循环范围
// i从start + 2开始，因为我们已经处理了前两间房子(dp[0]和dp[1])，
// 接下来的房子从start + 2开始。i <= end：我们需要包括end位置的房子，因此使用<=。
res = Math.max(dp[0] + nums[i], dp[1]);
dp[0] = dp[1];
dp[1] = res;
}
return dp[1];
}
}
为什么不能使用for(int i = 2; i < nums.length; i++)
这种写法没有考虑不同起始和结束范围的子问题，只适用于线性数组，无法正确处理环形数组的问题。我们的目标是分别处理不包含最后一间和不包含第一间的情况，因此需要灵活指定范围。
如果将循环写成 for(int i = 2; i < nums.length; i++)，这种写法会从数组的第三个元素开始遍历到最后一个元素，不能达成第一个房子和最后一个房子不能同时被抢劫的约束条件。
337.打家劫舍III
思路
- 本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。
- 这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移。结合二叉树递归三部曲和动规五部曲。
- 确定递归函数的参数和返回值
这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组，0：不偷，1：偷
private int[] robTree(TreeNode cur)
这里的返回数组就是dp数组。
所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。
- 确定终止条件
在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回
if (cur == null) return new int[]{0, 0};
这也相当于dp数组的初始化
- 确定遍历顺序
首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。
通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。
通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。
int[] left = robTree(cur.left);
int[] right = robTree(cur.right);
- 确定单层递归的逻辑
如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （如果对下标含义不理解就再回顾一下dp数组的含义）
如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}
// 偷cur，那么就不能偷左右节点。
// left[0] + right[0] 是计算从当前节点的左子树和右子树返回的结果中，
// 不偷左子节点和右子节点时的最大金额之和。
int val1 = cur.val + left[0] + right[0];
// 不偷cur，那么可以偷也可以不偷左右节点，则取较大的情况
int val2 = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
return new int[]{val2, val1};
-
举例推导dp数组
以示例1为例，dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）
image.png
/**
* Definition for a binary tree node.
* public class TreeNode {
* int val;
* TreeNode left;
* TreeNode right;
* TreeNode() {}
* TreeNode(int val) { this.val = val; }
* TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
* this.val = val;
* this.left = left;
* this.right = right;
* }
* }
*/
class Solution {
public int rob(TreeNode root) {
int[] result = robTree(root);
return Math.max(result[0], result[1]);
}
// 长度为2的数组，0：不偷，1：偷
private int[] robTree(TreeNode cur) {
if(cur == null) return new int[]{0, 0};
int[] left = robTree(cur.left);
int[] right = robTree(cur.right);
int val1 = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
int val2 = cur.val + left[0] + right[0];
return new int[]{val1, val2};
}
}
