（提前总结这部分挖的坑，需要后面介入更高级数学工具才能解决：1.圆的周长和面积公式；2.圆锥体积为等底等高圆柱体积的1/3；3.圆柱容球定理）

实物几何，是点、线、面的几何，从数形结合角度看，实物几何是描绘正数与正数之间关系的图景。

欧几里得的《几何原本》就属于实物（正数）几何的研究巅峰。

实物（正数）几何，完全没有负数的概念，就算有也只是将实物图形擦除的概念，可以理解为撤销动作，是绘图动作。也正是如此，实物（正数）几何，是描绘人们所能看到的实实在在的物质的工具。

一、线和角

（一）线

直线：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。

射线：射线只有一个端点；长度无限。

线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。

平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。

垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离，这也是直线外的点到直线的最短距离。

垂直平分线：经过某一线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。中垂线上任意一点到线段两端点距离相等。

（二）角

1.从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

2.角的分类

锐角：小于90°的角叫做锐角。

直角：等于90°的角叫做直角。从直角顶点向角内引出一条射线形成的两个角互为余角。

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。从平角顶点引出一条射线形成的两个角互为补角。

周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。

对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角，互为对顶角的两个角相等。两条直线相交，构成两对对顶角。对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

同旁内角、内错角和同位角是在两条直线被第三条直线所截时形成的不同位置关系的角。具体定义如下：

同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，被截两直线同侧的两个角称为同位角。如图中：∠1和∠5、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠8互为同位角

内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直线之间的一对角称为内错角。如图中：∠3和∠7、∠4和∠5、互为内错角

同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角称为同旁内角。如图中：∠3和∠5、∠4和∠7互为同旁内角

这些角的概念可以帮助我们更好地理解直线和角的位置关系。

3.直线与角的关系

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简称同位角相等，两直线平行）；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等（简称两直线平行，同位角相等）；

（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补。

（3）内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等

4.角的平分线

（1）从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线；

（2）角平分线上的点到这个角两边的距离相等；

（3）在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

如何理解圆的角度为什么是360°？

在古文明时期，人类把很多不能解释的自然现象归结为“天意”。从对“天意”的判断与预知发展出了占星术，也促进了早期天文学的发展。经过长期肉眼的天文观测，古人终于有了一个重大发现——各星象的运动轨迹是一个圆……它们在夜空中的位置每天都会比前一天稍移一些，直到一个周期——也就是一年（360多个昼夜）后，又会恢复原位。现在你有没有发现，一年有365天与一个圆有360度之间的微妙关系？

其中一种理论认为，古巴比伦人继承了同为美索不达米亚平原上公元前三世纪苏美尔人的六十进制计数方法，将一年划分为360天（12个月，每月30天），因此根据上所述原因，一个圆也可以被划分为360等份，每一份即为“一度”。在巴比伦帝国被波斯人消灭300多年后，希腊天文学家阿里斯塔克斯和喜帕恰斯重新系统归纳总结了巴比伦人在天文学上的成就，“星座”和“天球”的概念首次出现，六十进制被继续发扬光大，天象划分基础被确立，“一个圆有360度”的说法也开始成为科学标准渐渐得到人们的肯定。也许你又要问了，现在人类已经知道一年可以精确划分为365.242199天，那么圆的度数为什么不修正到365度呢？好吧，那让我们再来看看360这个数另一个更具有现实意义的性质：它有24个因数。这意味着可以用它来对世界进行时区划分，每一个时区横跨15个经度，正好可以划分为24个时区，同时又关联上了一天24小时的国际公约。

为了让避免相同度数在不同大小的圆中具有不同意义，进行了归一化，便有了下面这个大家耳熟能详的公式：

弧度=距离/半径

一个圆就被划分为了360个度数或者2π个弧度——绕圆一周的距离除以半径（2π*r/r）.所以一个弧度又等于57.3度。事实上弧度在我们生活中的应用极其广泛。从绕地球转动的人造卫星，到汽车开动时的车轮，我们都是用与弧度相关的概念（“千米每小时”、“转数每分钟”）来定义它们的速度，这其实就是一种客观地站在运动者视角看问题的思考方式。

二、平面图形

（一）三角形

见《工具精神——三角形》专题讲解。

（二）平行四边形

1.特征：两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。平行四边形的对角线互相平分。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等

定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2.计算公式

面积s=底边长a×高h

（三）长方形也称矩形

1.特征：对边相等，4个角都是直角的四边形或者有一个角是直角的平行四边形。矩形对边平行且相等。矩形对角线相等且互相平分。

2.定理：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形

3.计算公式

周长c=2×(a+b)

面积s=ab，数形结合的含义为b数量的线段a的汇聚就能算得覆盖面积。

（四）菱形

1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

2.菱形的四条边相等，对边平行；菱形的相邻角互补，对角相等；菱形对角线相互垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

3.定理：四边都相等的四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4.菱形的面积=底边长×高=两条对角线乘积的一半。

（五）正方形

1.特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。

2.计算公式

周长c= 4×a

面积s=a²=对角线平方的一半

（五）梯形

1.特征：只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。

2.等腰梯形：等腰梯形两腰相等，两底平行。等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。等腰梯形的对角线相等。

2.公式

面积s=(a+b)h/2=中位线m×h

（六）圆

1.圆的认识

平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。

2.圆的周长

围成圆的曲线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。

3.圆的面积

圆所占平面的大小叫做圆的面积。

4.计算公式

d=2r

r=d/2

周长c=πd

周长c=2πr

面积s=πr^2

这里涉及到的π，暂通过重复实验（周长除以直径）方法求近似数值得到，彻底剖析需要更高的工具。

5.圆的特点

（1）一条弧所对应的圆周角等于它所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等

（2）半圆或直径所对的圆周角是直角；

（3）弦切角等于所夹的弧所对的圆周角。

（4）圆的内接四边形的对角互补。外角等于四边形内对角。

（5）圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。（利用三角形相似证明）

（6）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半的平方等于它分直径所成的两条线段的乘积。

（7）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。（利用三角形相似证明）

（8）从圆外一点引圆的切线和割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。

（七）扇形

1.扇形的认识

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。顶点在圆心的角叫做圆心角。在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。扇形有一条对称轴。

2. 计算公式

扇形面积s=n×πr^2/360=lr/2（l为圆弧长度）

（八）圆环

1. 特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。

2.计算公式

面积s=π(R^2-r^2）

（九）对称

轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴：正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴，菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。

中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点。关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。中心对称的简单方法：以十字的两条垂直线的交点为图形的中心，将图形划分成十字形区域。如果对角线区域中某些图形的形状完全相同，并且对应点到中心的距离相等，则该图形是中心对称的。反之，只要有一个形状不同的对角线区域，这个图形就不是中心对称图形。“十字”判别法是基于中心对称图形的定义。因为一个图形的“十字”区域是由对称中心划分的，所以对角线区域的一些图形旋转后会重合，所以这种方法有其科学依据和具体的可操作性。

三、立体图形

（一）长方体（棱柱的一种）

1.特征

六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

2.计算公式

表面积s=2(ab+ah+bh) 

体积V=sh 

体积V=abh，数形结合的含义为h数量的面a*b的汇聚就能算得体积。

（二）正方体（棱柱的一种）

1.特征

六个面都是正方形六个面的面积相等 12条棱，棱长都相等有8个顶点

正方体可以看作特殊的长方体

2. 计算公式

表面积s= 6*a^2

体积V=a^3,

（三）圆柱（旋转体的一种）

1.圆柱的认识

圆柱的上下两个圆面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做高。

2.计算公式

侧面积s=2πr*h

表面积s=侧面积s+底面积s×2=2πr*h+2πr^2=2πr（h+r）

体积v=底面积s*h，数形结合的含义为h数量的底面s的汇聚就能算得体积。

（四）圆锥（旋转体的一种）

1. 圆锥的认识

圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。

把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

2.计算公式

表面积s=πr^2+πrL（L为圆锥斜棱长度）

体积v=(1/3) πr^2*h，暂通过重复实验方法求得圆锥体积为等底等高圆柱体积的1/3，彻底剖析需要更高的工具。

（五）球（旋转体的一种）

1. 认识

球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。球和圆类似，也有一个球心，用O表示。

从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。

通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。

2.计算公式

表面积S = 4πr²。直接引用圆柱容球的结论，彻底剖析需要更高的工具。

体积V = (4/3)π r³。直接引用圆柱容球的结论，彻底剖析需要更高的工具。

圆柱容球定理是这样的：圆及其外切正方形绕对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱全面积的三分之二。