当我工作的时候，我有时有一种感觉，也许是幻觉，我注目于结构或数学对象纯粹柏拉图主义的美丽，另外的有些时候，我是一个快乐的康德主义者，惊奇于直觉之构造，亚里士多德所谓"对象的形式条件"的强大能力；而有的时候，我似乎跨坐于这两个阵营之间。我觉得，这种体验带来的张力，令人眩晕的想象，直觉的跳跃，"看见"契合于某个概念王国的实体所导致的窒息感，以及我对所有这些怀有的激情，正是使得数学对我来说如此超级重要的原因，当然，这个王国可能只是幻觉，但是体验呢?
先验主义认为：数是被发现而不是发明出来的。基本粒子存在于物质世界之中，而数字以非物质，然而也非心理的方式存在。柏拉图认为数字，三角形，方程等数学对象独立存在于"数学的王国"，在物理客体世界之外，同时也在人类的思维之外。在他的"理型论"中，柏拉图声称思想观念比物质客体具有更为本质的真实性，"理型"存在于形而上的观念世界，通过我们的感觉所理解的物质客体，只不过是其理型的投影或实例，理型才是真正的本质。人类的感觉无法直接认识到理型，但通过推理则可以。埃尔米特认为：我相信数字和解析方程不是我们思想的随意性结果，我认为它们存在于我们之外，具有与客观真实事物同样的必然性。我们遇到它们，发现它们，研究它们，这与物理学家，化学家以及动物学家并没有两样。但是，与基本粒子一样，数的存在似乎与人类的精神世界无关。物理学家们使用实验和测量设备，数学家则运用他们的直觉，逻辑思维和抽象思维，以发现未知领域中的美和真理。数学家们从事研究的世界，是一个 充满数学对象和观念的抽象世界。当他们发现此前未知的关系，模式和结构时，人类就认识了一个新的数学知识领域，也等于是抵达了抽象世界里一片新的区域。数学家们感觉，这与过去发现地球上人类未曾涉足的区域是一样的。这种观点无法轻易否定，例如完全平方数，我们"发现"了"前n个奇数之和等于n的平方"这个结果，我们发现这个结果以显豁的几何直觉看肯定是正确的。因此这给予我们这样一种印象：这种结果表达的是客观真理，它们在被写成公式并被证明之前就已是存在而且正确的。因此人们产生一种观点认为"形而上的"数字王是客观存在的，它与物理的宇宙之间毫不相关。换句话说：即便整个宇宙在明天消失，数字的世界仍然永恒的存在。
经验主义认为：对人脑产生数学的机理之科学研究显示，数学的思想过程具有纯粹的生理基础，数学与人类所有其他同样重要的智力技能并无类型上的不同从而抛弃柏拉图主义这一古代宗教的最后残余。
逻辑主义学派罗素认为：逻辑主义的目标是证明所有纯数学仅仅处理由极少数基本逻辑概念定义的概念，它的所有命题都可以由极少数的基本逻辑原理导出。数的概念完全独立于关于时间和空间的直觉和观念，是纯粹的思想法则的直接产物。
形式主义学派认为：数学是一种符号游戏，其游戏规则简单，而符号毫无意义。
直觉主义学派认为：数学是人类大脑的创造，由于数学陈述是思维建构，陈述的正确性归根到底是由数学家的直觉所认定的主观断言，数学的形式化只不过是人们交流的工具。
康德提出先验的综合陈述是否存在?先验：数学是一个命题系统，每个命题有其自己的正确性，不需要经验的证实或肯定，数学是先验的。后验：数学根植于对物理世界的观察和了解，它的结果告诉我们关于经验现实的东西。分析：一个陈述被称为分析的，如果它本身就是正确的例如："所有丈夫都是已婚的。"综合：一个陈述不能反由其词语的意义判断其正确与否那么它就是综合的。例如"所有丈夫都是幸福的。"像5+3=8这样的数学陈述是不是综合和先验的?5+3=8这个陈述是先验的，仅由公理系统所定义的数字序列的性质就可以判断。但它似乎也是综合的，它告诉我们的是关于物理世界的东西。
爱因思斯：数学归根到底是人类思想的产物，它与经验无关，但它却如此让人拜服地与现实对象相适应，这究竟是怎么做到的？夏皮罗：数学似乎是必然的和先验的，但它与物理世界有关，这是怎么成为可能的?我们是怎么能够凭借我们在舒服沙发上的先验反映，来学习关于物理世界的重要知识的?"爱因斯坦：只要数学定律所指的是现实，那么它们就不是肯定的；而只要它们是肯定的，那么它们所指的就不是现实。"
