有限体积法学习——2019-07-08

《An introduction to COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS, The Finite Volume Method》

2.7 The role of characteristics in hyperbolic equations

        考虑上一节提到的双曲线型方程，令\zeta =x-ct，\eta =x+ct。波动方程转化为

                                                                        \frac{\partial^2 \phi}{\partial\zeta \partial \eta }=0

        可以求得\phi(x,t)=F_{1}(x-ct)+F_{2}(x+ct) 。其中F_1和F_2为任意函数，为问题的简单波动函数解，波以速度c和-c传播且波型和幅值不变。

        考虑无限长细绳，初始条件为\phi(x,0)=f(x),\partial\phi/\partial t(x,0)=g(x)，代入求解可以得到：

                                          \phi(x,t)=\frac{1}{2}[f(x-ct)+f(x+ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds

        从式中可以看出在点(x,t)的解仅仅受到初始条件中(x-ct,x+ct)范围内的值的影响，通过下图来说明。

特征线，依赖域和影响域图

         在t-x图中画出特征线x-ct=const和x+ct=const两条交于点(x^,,y^,)。该点上的值受到依赖域上的值影响。可以通过波速确定，信息沿两簇平行线随时间增大传播，因此越过交于这点的两条特征线信息就不会传播到该点，只有依赖域内的值有可能影响到该点值。同理也可以推得，该点的信息在之后的时间里也只会传播到由这两条特征线所包围的影响域内的点。

物理方程分类


2.8 Classification method of for simple PDEs

        考虑一般二维二阶偏微分方程：

                               a\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+b\frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial y}+c\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+d\frac{\partial \phi}{\partial x}+e\frac{\partial \phi}{\partial y}+f\phi+g=0

        其特征方程(?)为

                                                      a(\frac{dy}{dx})^2-b(\frac{dy}{dx})+c=0

        通过判断特征方程实根的个数判断偏微分方程类型。即通过判别式(b^2-4ac)如下表判断。

线性二阶二元偏微分方程分类

        其中a,b,c可以为常数或函数。

        N个独立变量的二阶偏微分方程，先将他们重写为如下标准形式：

                                                             \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^NA_{jk}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x_j\partial x_k}+H=0

        其中A_{jk}=A_{kj}，即将系数分为相等的两部分，凑成矩阵形式。求矩阵的特征值，根据特征值的情况判断偏微分方程所属类型。

多元方程分类准则

        前面所提到的拉普拉斯方程，波动方程和扩散方程都可以通过此两种方法判定所属类型。


2.9 Classification of fluid flow equations

流动方程分类

        表中可得，稳态的NS方程为椭圆型，瞬态的为抛物线型。无粘流体和粘性流体相比，由于缺少粘性的高阶项而大不一样，其分类和马赫数相关。稳态问题中，由于压力是以声速在流动中传播，如果马赫数小于1即流动速度小于声速，压力便可以传播到所有区域，方程特征即为椭圆型方程。而如果马赫数大于1，流动速度大于声速，压力只能传播到部分区域，方程特征即变为双曲线型特征。边界层流动仅含一项二阶扩散项，所以为抛物线型方程。

        在稳态问题中出现了信息不能传播到整个区域的双曲线型和抛物线型方程，其求解是类似时间前进的方式，联想到COOLFluiD接触过的用瞬态逼近稳态的方法设置。

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