三角形中的等式关系专题

本文总结了三角形中常用的公式，主要通过三角形的三个内角、三条边长、以及三个顶点坐标，结合三角函数和向量来描述它们之间的关系。主要涉及描述边角关系的正弦、余弦、正切定理；内心、重心、外心、垂心间的关系；内角的等式以及多个面积公式。当然了，这里的小结远远不能涵盖所有关于三角形的等式关系。

正弦定理： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2r$
余弦定理：
- 第一种形式： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\\c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
- 第二种形式： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
- 第三种形式(角元形式)： $\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C-2\sin B\sin C\cos A\\\sin^2B=\sin^2A+\sin^2C-2\sin A\sin C\cos B\\\sin^2C=\sin^2A+\sin^2B-2\sin A\sin B\cos C$
- 特殊情况：勾股定理
正切定理： $\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}\\\frac{a-c}{a+c}=\frac{\tan\frac{A-C}{2}}{\tan\frac{A+C}{2}}\\\frac{b-c}{b+c}=\frac{\tan\frac{B-C}{2}}{\tan\frac{B+C}{2}}$

O是△ABC内心的充要条件： $a\cdot\overrightarrow{OA}+b\cdot\overrightarrow{OB}+c\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$
O、H分别是△ABC内心、垂心，那么 $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
三角形的外心、重心、垂心共线
已知△ABC的三点坐标为，三边依次为，则
- 内心坐标： $(\frac{a\cdot x_A+b\cdot x_B+c\cdot x_C}{a+b+c},\frac{a\cdot y_A+b\cdot y_B+c\cdot y_C}{a+b+c})$
- 外心横、纵坐标分别为： $\begin{cases}\frac{(y_C-y_B)(x_A^2+y_A^2-x_B^2-y_B^2)-(y_A-y_B)(x_C^2+y_C^2-x_B^2-y_B^2)}{2(x_A-x_B)(y_C-y_B)-2(y_A-y_B)(x_C-x_B)}\\\frac{(x_A-x_B)(x_C^2+y_C^2-x_B^2-y_B^2)-(x_C-x_B)(x_A^2+y_A^2-x_B^2-y_B^2)}{2(x_A-x_B)(y_C-y_B)-2(y_A-y_B)(x_C-x_B)}\end{cases}$
- 垂心坐标： $(\frac{\frac{a}{\cos A}x_A+\frac{b}{\cos B}x_B+\frac{c}{\cos C}x_C}{\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}},\frac{\frac{a}{\cos A}y_A+\frac{b}{\cos B}y_B+\frac{c}{\cos C}y_C}{\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}})$
- 重心坐标： $(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3})$

内角和： $A+B+C=\pi$
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$
$\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{A}{2}\tan\frac{C}{2}=1$
角元公式： $\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C-2\sin B\sin C\cos A\\\sin^2B=\sin^2A+\sin^2C-2\sin A\sin C\cos B\\\sin^2C=\sin^2A+\sin^2B-2\sin A\sin B\cos C$

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则三角形面积

高与底： $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c$
两边与夹角： $S=\frac{1}{2}bc\cdot\sin A=\frac{1}{2}ac\cdot\sin B=\frac{1}{2}ab\cdot\sin C$
三边与外接圆半径： $S=\frac{abc}{4R}$
三边与内切圆半径： $S=\frac{(a+b+c)r}{2}$
海伦公式： $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}$