地标性高考数学题：2019年全国卷A题16

2019年全国卷A题16

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0) 的左、右焦点分别为 F_1,F_2，过 F_1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点. 若 \overrightarrow{F_1 A} = \overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{F_1 B} \cdot \overrightarrow{F_2 B} =0，则 C 的离心率为 \underline{\mspace{100mu}} .

【解析】

∵ \overrightarrow{F_1 B} \cdot \overrightarrow{F_2 B} =0

∴ F_1B \perp F_2B，\triangle F_1BF_2 是直角三角形，

∴ |OB|=\dfrac{1}{2}|F_1F_2|=c

记直线 OB 的倾角为 \beta, 则 B 点坐标为 (c\cdot \cos\beta,c\cdot\sin\beta)

∵ \overrightarrow{F_1 A} = \overrightarrow{AB}, ∴ 点 A 是 F_1B 的中点，

x_{_A}=\dfrac{1}{2}(-c+c\cdot\cos\beta), y_{_A}=\dfrac{1}{2}(0+c\cdot\sin\beta)

∵ A,B 两点都在双曲线的渐近线上，∴ \dfrac{y_{_A}}{x_{_A}}= - \tan\beta

∴ \dfrac{\sin^2\beta}{(\cos\beta-1)^2} = \tan^2\beta = \dfrac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}

∴ (\cos\beta-1)^2=\cos^2\beta

∴ \cos\beta=\dfrac{1}{2}, \tan^2\beta=\dfrac{1}{3}

∴ \dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{1}{3}, \dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{4}{3}

∴ e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}

【提炼与提高】

本题属于典型的压轴题，具有一定难度；主要难在：综合性。在解答过程中，我们应用了高中数学中多个分支的知识，并使用了转化的策略。

1）由两个向量的内积为 0推出两线垂直，进一步推出结论：|OB|=c.

2）由两个向量相等推出结论：F_1,A,B 三点共线，且 {|F_1A|=|AB|}. 换个角度说，点 A 是线段 F_1B 的中点。

3）过 F_1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点。这个条件意味着：A,B 两点分别在两条渐近线上，OA,OB 的斜率互为相反数。

4）由双曲线的方程得出渐近线的方程 y=\pm \dfrac{b}{a}x.

5）双曲线的 a,b,c 三个参数是关联的。如果求出 a 与 b 的比值，就可以迅速算出 a 与 c 的比值。

以上五点，如果拆开，每一点都很简单；但综合起来就不容易了。

综合上述几点，可以修改一下描述方式，将原题的主要内容改成以下等效形式：

直线OB 的斜率为 \dfrac{b}{a}, 且 |OB|=c. A 为线段 F_1B 的中点。OA 的斜率等于 -\dfrac{b}{a}. 求 \dfrac{b}{a}.

这样一改，等于把双曲线这个背景抽走，成了一个单纯的围绕直线的问题。难度就大大降低了。

『直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。』

这是平面几何的一个定理，在高考数学中使用的频率非常高。

事实上，以下几条是相互关联的，可以相互转化。

① 两直线垂直

② 向量内积为0

③ 勾股定理：斜边长的平方等于两条直角边的平方和

④ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

⑤ 两直线的斜率之积等于 -1.

看到其中一点，就要迅速地想到另外四点。以本题为例，就走了这样一条转化路线：

\overrightarrow{F_1 B} \cdot \overrightarrow{F_2 B} =0 \Rightarrow F_1B \perp F_2B，\Rightarrow\; \triangle F_1BF_2 是直角三角形 \Rightarrow\;|OB|=\dfrac{1}{2}|F_1F_2|

【相关考题】

「2014年文科数学全国卷A题20」

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