地标性高考数学题：2019年全国卷A题16

2019年全国卷A题16

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ，过 $F_1$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A,B$ 两点. 若 $\overrightarrow{F_1 A} = \overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{F_1 B} \cdot \overrightarrow{F_2 B} =0$ ，则 $C$ 的离心率为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

【解析】

∵ $\overrightarrow{F_1 B} \cdot \overrightarrow{F_2 B} =0$

∴ $F_1B \perp F_2B$ ， $\triangle F_1BF_2$ 是直角三角形，

∴ $|OB|=\dfrac{1}{2}|F_1F_2|=c$

记直线 $OB$ 的倾角为 $\beta$ , 则 $B$ 点坐标为 $(c\cdot \cos\beta,c\cdot\sin\beta)$

∵ $\overrightarrow{F_1 A} = \overrightarrow{AB}$ , ∴ 点 $A$ 是 $F_1B$ 的中点，

$x_{_A}=\dfrac{1}{2}(-c+c\cdot\cos\beta)$ , $y_{_A}=\dfrac{1}{2}(0+c\cdot\sin\beta)$

∵ $A,B$ 两点都在双曲线的渐近线上，∴ $\dfrac{y_{_A}}{x_{_A}}= - \tan\beta$

∴ $\dfrac{\sin^2\beta}{(\cos\beta-1)^2} = \tan^2\beta = \dfrac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$

∴ $(\cos\beta-1)^2=\cos^2\beta$

∴ $\cos\beta=\dfrac{1}{2}$ , $\tan^2\beta=\dfrac{1}{3}$

∴ $\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{4}{3}$

∴ $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$

【提炼与提高】

本题属于典型的压轴题，具有一定难度；主要难在：综合性。在解答过程中，我们应用了高中数学中多个分支的知识，并使用了转化的策略。

1）由两个向量的内积为 $0$ 推出两线垂直，进一步推出结论： $|OB|=c$ .

2）由两个向量相等推出结论： $F_1,A,B$ 三点共线，且 ${|F_1A|=|AB|}$ . 换个角度说，点 $A$ 是线段 $F_1B$ 的中点。

3）过 $F_1$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A,B$ 两点。这个条件意味着： $A,B$ 两点分别在两条渐近线上， $OA,OB$ 的斜率互为相反数。

4）由双曲线的方程得出渐近线的方程 $y=\pm \dfrac{b}{a}x$ .

5）双曲线的 $a,b,c$ 三个参数是关联的。如果求出 $a$ 与 $b$ 的比值，就可以迅速算出 $a$ 与 $c$ 的比值。

以上五点，如果拆开，每一点都很简单；但综合起来就不容易了。

综合上述几点，可以修改一下描述方式，将原题的主要内容改成以下等效形式：

直线 $OB$ 的斜率为 $\dfrac{b}{a}$ , 且 $|OB|=c$ . $A$ 为线段 $F_1B$ 的中点。 $OA$ 的斜率等于 $-\dfrac{b}{a}$ . 求 $\dfrac{b}{a}$ .

这样一改，等于把双曲线这个背景抽走，成了一个单纯的围绕直线的问题。难度就大大降低了。

『直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。』

这是平面几何的一个定理，在高考数学中使用的频率非常高。

事实上，以下几条是相互关联的，可以相互转化。

① 两直线垂直

② 向量内积为0

③ 勾股定理：斜边长的平方等于两条直角边的平方和

④ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

⑤ 两直线的斜率之积等于 $-1$ .

看到其中一点，就要迅速地想到另外四点。以本题为例，就走了这样一条转化路线：

$\overrightarrow{F_1 B} \cdot \overrightarrow{F_2 B} =0$ $\Rightarrow F_1B \perp F_2B$ ， $\Rightarrow\; \triangle F_1BF_2$ 是直角三角形 $\Rightarrow\;|OB|=\dfrac{1}{2}|F_1F_2|$

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