5. 牢记5个重要公式2025-08-11

Diffusion模型的核心原理围绕“前向加噪”和“反向去噪”两个过程展开，以下是5个最关键的公式及其含义：

1. 前向扩散过程的递推关系

公式：
$\mathbf{x}_t = \sqrt{\alpha_t} \cdot \mathbf{x}_{t-1} + \sqrt{1 - \alpha_t} \cdot \boldsymbol{\epsilon}_{t-1}, \quad \boldsymbol{\epsilon}_{t-1} \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})$

含义：
前向过程是从原始数据 $\mathbf{x}_0$ 逐步添加标准高斯噪声的马尔可夫链。其中：

$t$ 表示扩散步骤（ $t=0$ 为原始数据， $t=T$ 为纯噪声）；
$\alpha_t = 1 - \beta_t$ ， $\beta_t \in (0,1)$ 是预设的噪声系数（随 $t$ 增大而增大）；
$\boldsymbol{\epsilon}_{t-1}$ 是标准高斯噪声。
每一步通过线性组合 $\mathbf{x}_{t-1}$ 和噪声，使数据逐渐“退化”为噪声。

进一步地，前向过程的边缘分布

公式：
$\mathbf{x}_t = \sqrt{\overline{\alpha}_t} \cdot \mathbf{x}_0 + \sqrt{1 - \overline{\alpha}_t} \cdot \boldsymbol{\epsilon}, \quad \boldsymbol{\epsilon} \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})$

含义：
由于前向过程是高斯马尔可夫链，可直接从 $\mathbf{x}_0$ 计算任意 $t$ 时刻的 $\mathbf{x}_t$ （无需递推）。其中：

$\overline{\alpha}_t = \prod_{s=1}^t \alpha_s$ （累积乘积，随 $t$ 增大而减小）；
当 $t=T$ 时， $\overline{\alpha}_T \approx 0$ ， $\mathbf{x}_T \approx \boldsymbol{\epsilon}$ （纯噪声）。

5. 牢记5个重要公式2025-08-11