中心极限定理证明

中心极限定理

设 $X_1,X_2,...,X_n$ 独立同分布，期望为 $\mu$ ，标准差为 $\sigma$ ，随机变量 $T_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}{X_k}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ 的分布函数为
$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}{F_n(x)} &= P\left(\frac{\sum_{k=1}^{n}{X_k}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\leq{x}\right) \\ &= \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{aligned}$
即， $T=\lim_{n\to\infty}T_n$ 服从正态分布，其概率密度函数为 $f(t)=\lim_{n\to\infty}f_n(t)$

证明：
不妨设 $X_i$ 的概率密度为 $g_i$ ，令 $Q_k= \frac{{X_k}-\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ ，这里可求出 $Q_k$ 的概率密度，暂设为 $q_k$
则， $T_n=\sum_{k=1}^{n}Q_k$
由下面第一小节知概率密度 $f_n$ 为 $q_k$ 的卷积，利用卷积公式有 $f_n= {\mathcal{F}^{-1}}\prod_{k=1}^{n}{\mathcal{F}}(q_k)$
由下面第二小节求得 ${\mathcal F}(q_k)=1-\frac{\omega^2}{2n}$
在由下面三四小节，可得 $f(t)= \lim_{n\to\infty}f_n(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}$

1. $U=X+Y$ 的概率密度函数为 $f*g$

对于独立随机变量 $X,Y$ ，其联合分布概率密度 $h(x,y)=f(x)g(y)$ ，则 $U=X+Y$ 的分布函数为
$\begin{aligned} H(u) & = \iint_{}^{x+y\leq{u}}h(x,y)dxdy \\ & =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{u-y}h(x,y)dxdy \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{u}h(t-y,y)dtdy \\ & = \int_{-\infty}^{u} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(t-y)g(y)dy \right] dt \\ & = \int_{-\infty}^{u}(f*g)dt \end{aligned}$
从而可知 $U=X+Y$ 的概率密度函数为 $f*g$

2. $Q=\frac{X-\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ 的傅里叶变换 $1-\frac{ \omega^2 }{ 2n }$

转化 $P\left(\frac{\sum_{k=1}^{n}{X_k}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\le{x}\right)=P\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{{X_k}-\mu}{\sigma\sqrt{n}}\le{x}\right)$ 后，将每一项表示为 $Q=\frac{X-\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ ，由 $Q(q)= P\left(\frac{X-\mu }{\sigma\sqrt{n}}\le{q}\right)=\int_{-\infty}^{\sigma\sqrt{n}{q+\mu}}f(t)dt=\int_{-\infty}^{q}\sigma\sqrt{n}f(\sigma\sqrt{n}{t+\mu})dt$ 知每一项的概率密度函数 $q(t)= \sigma\sqrt{n}f(\sigma\sqrt{n}{t+\mu})$ 。其傅里叶变换为
$\begin{aligned} {\mathcal{F}}(\omega) & = \int_{-\infty}^{+\infty}\sigma\sqrt{n}f(\sigma\sqrt{n}{t+\mu})e^{-j\omega{t}}dt \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}}}dx \\ & \approx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \left( 1-j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}}+\frac{1}{2}(-j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}})^2 \right) dx \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx - \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}} dx + \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\frac{1}{2}(-j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}})^2 dx \\ & = 1-\frac{\omega^2}{2n} \\ \end{aligned}$

3. $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}$

由标准正态分布 $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$ 可得

4.T的概率密度函数

$\begin{aligned} f(t) & = \lim_{n\to\infty}{ f_n(t)} \\ & = \lim_{n\to\infty}{\mathcal F}^{-1}({\mathcal F}^n(\omega)) \\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\omega^2}{2n}\right)^ne^{jwt}d\omega \\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{\omega^2}{2}}e^{jwt}d\omega \\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{(j\omega)^2+2jwt}{2}}d\omega \\ & = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{t^2}{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{(j\omega+t)^2}{2}}d\omega \\ \end{aligned}$
又因为
$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{(j\omega+t)^2}{2}}d\omega & \xlongequal{ x=\frac{j\omega+t}{j}} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{(jx)^2}{2}}d(x-\frac{t}{j}) \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = \sqrt{2\pi} \\ \end{aligned}$
从而得到 $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}$

附录：大数定律

$\lim_{n\to\infty}{P(\frac{\sum{x_k}}{n}-\frac{\sum{Ex_k}}{n}\geq\epsilon)}=\int_{x-\mu\ge\epsilon}f(x)dx \leq \int{(\frac{x-\mu}{\epsilon})^2f(x)}dx=\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$