以下是关于自由极值凹性和凸性的讨论

无论海塞行列式主子式如何表述，总是与稳定点是峰顶还是谷底这一问题有关。即它们总是与一条曲线、一个曲面或者一个超曲面在稳定点附近如何弯曲有关。

一、函数的凹凸性

在单选择变量的情况下，即z=f(x)，峰顶或者谷底的图形是以一条倒U形或 U形曲线表示。对于二元函数z=f(x,y)，其峰顶（谷底）的形状是以山丘形（碗形）表面来表示。在更多元层面，需要发挥想象在超平面中想象出“峰顶”或“谷底”。

一个在整个定义域中给出峰形（谷底）的函数被称作凹（凸）函数。

在非严格的情况下，允许峰形或谷底包含一个或多个平坦的部分，比如线段或平面。在严格的情况下，就剔除了线段或平面的存在的可能性。如下图，分别代表了严格凹函数和严格凸函数。

示例

凹函数的极值必然是极大值——峰顶。而且此极大值必然是绝对极大值，因为峰形覆盖了整个定义域。但绝对极大值可能不是唯一的，因为如果山峰包含了一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。仅当我们限定为严格凹性时，才可以排除后一种的可能性。此时峰值才包括一个单一的点，绝对极大值才是唯一的。唯一的绝对极大值也称作强绝对极大值。

总结

二、凹凸性检验

检验

公式

（一）线性函数
若 f(x) 是一个线性函数，则此函数既可以是凹函数，也可以是凸函数，但不是严格凹或凸函数。

（二）函数的正负性与凹凸性
若 f(x)为凹函数，则 -f(x)为凸函数 ，反 之亦然 ; 类似地 ，若 f(x) 为严格凹函数，则 -f(x)为严格凸函数，反之亦然。

（三）函数的和
若 f(x) 与 g(x) 均为凹(凸)函数，则f(x) + g(x) 也为凹(凸)函数;若 f(x) 和 g(x) 均为凹(凸)函数，且其中至少有一个为严格凹(严格凸)函数，则 f(x) + g(x) 为严格凹(严格凸)函数 。

参考资料
《数理经济学的基本方法》第四版