做一个有价值的数学老师

-----读《数学文化学》感想七

大寨一中  高元节

数学教育要面向全体，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上有不同的发展。

----题记

在教学中，教师要充分发挥数学教学的价值，以促使每个学生都能相应程度的发展。一样的可他们个，不同的人有不同的感受，在我们面对“12345......＋－×÷”的时候，更应该关注到课堂背后值得推敲和探索的东西。我们应该清楚，好课一定是“学生的课”“学的课”，而不是“教师的课”“教的课”，教师应该加强对学生成长方式的认识，要相信学生、解放学生、利用学生、发展学生，一切以学生为本，让课堂充满生命力，实现自身价值的同时，也促进了学生的全面发展。

今天我读了《数学文化学》第九章的内容（329-372页）：

数学与思维

9.1  数学化的思想

9.2  公理化的思想

9.3  思维的自由想象与创造

9.4  解决问题的艺术

9.5  从教育的角度看

我的语段摘录：

在数学教育中我们不应惟一注意数学知识的学习，而应更加重视思维方

    法的训练和培养。（见329页）

所谓“数学化”，在此是指如何由实际问题去建构出它的数学模型，并应

用数学的知识和方法以求得问题的解决。（见329页）

所谓“公理化”，即是指在理论的组织中应当用尽可能少的概念和命题作

为必要的基础，并通过明确的定义和逻辑推理来建立演绎的体系。（见334

页）

学生在几何学习方面的思维发展水平可划分为如下的五个等级：

水平0：直观；

水平1：分析；

水平2：抽象；

水平3：演绎；

水平4：严密.  （见335页）

皮亚杰把儿童认识发展过程区分为四个不同阶段：

感知运动阶段；

前运演阶段；

具体运演阶段；

形式运算阶段。  （见336页）

数学为人类创造性才能的充分发挥提供了最为理想的场所。（见340页）

美国学者戴森指出：“对于一个物理学家来说，数学不仅是可以用来计算

现象的工具，而且是可以创造新理论的那些概念和原则的主要源泉......一个物理学家必须借助于数学来建立他的理论，因为，数学使他能比有条理

思考想象出更多的东西。（见342页）

彭加莱写到：“数学的美感、数和形的和谐感、几何的雅致感，这是一切 真正的数学家知道的审美感......正是这种特殊的审美感，起着我已经说过的微妙的筛选作用。”也正因为此，“缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者。（见343页）

迪卡尔就曾提出过所谓的“万能方法”：第一，把任何问题转化为数学问题；第二，把任何数学问题转化为代数问题；第三，把任何代数问题归结为解方程。（见348页）

波利亚把所说的行为准则、格言和指南等统称为“启发性法则”。（见350页）

波利亚写到：“解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋，正是绕过障碍，在眼前无捷径的情况下迂回的能力，使聪明的动物高于愚笨的动物，使人高出最聪明的动物，并使聪明的人高出愚笨的人。”（见352页）

爱因斯坦曾这样指出：“提出一个问题比解决一个问题更为重要，因为解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”（见356页）

数学的工具作用即就直接依赖于数学的思维。（见358页）

数学教育目标的制订必须首先考虑社会的需要。（361页)

只有这样，我们才能真正把数学课“讲活”、“讲懂”、“讲深”----所谓“讲

活”，是指教师应通过自己的教学活动为学生展现出“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；所谓“讲懂”，是指教师应当帮助学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；最后，所谓“讲深”。则是指通过数学教学教师不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生学会数学地思维。（见363页）

数学学习并非是一个被动的吸收过程、而是一个以学习者已有的知识和经验为基础的主动建构过程。（见364页）

肖文强先生进一步指出：“单是学的传授，仅是狭隘的数学教育而已，才、学和知识三者兼顾才是广义的数学教育。这种广义的数学教育不把数学仅视作一件实用工具，而是通过数学教学达至更广阔的教育功能，包括数学思维延伸至一般思维，培养正确的学习方法和态度、良好学风和品德修养，也包括从数学欣赏带来的学习愉悦以及知识的尊重。（见371-372页）

我的教学实例：

学校的操场有多大？

学过长方形面积计算公式之后的学生，不会只是算练习册和考试卷上的长方形面积吧？我想做个实验，做个调查，看看究竟有多少学生能运用已有的知识和数学思维去解决生活问题。

活动课上，我给学生出了这个问题：“你们知道咱们学校操场有多大吗？”他们的回答是：“知道或者不知道。”因为我的设问方式只是问“知不知道的事情”，就是纯粹的师生对话。

我又问学生：“我们有什么方法可以知道操场有多大呢？”

学生给出的答案是：“操场可以让全校师生都站在操场上开运动会；上体育课时跑下来一圈就出汗了；4×100接力赛的跑道是从南边到北边，两边还有很长才能到操场边......”这些答案是学生给出的直观的空间概念和主观的大小推测。

我再问学生：“操场是什么形状？我们用什么来表达几何图形的大小呢？”

学生齐声回答：“长方形，用面积就可以表达它的大小。”

这说明，学生具备了一定的数学知识，而且是能迁移到生活中来的。他们还能把生活中的实际实物快速地对应到数学图形上，其实这就是数学模型的建构，这样以来，课堂上老师有意无意培养的数学思维，课本上呈现的数学知识就会在生活中显现出来，这个才是“做数学”，而不是“做数学题”，后者是“纸上谈兵”“计算得分”，前者才是“解决问题”“生活需要”。

我又提出要求：“我现在需要一个数字，来说明操场的大小。”

学生说：“不知道长和宽，怎么算啊？；问问校长不就知道了；没有尺子吗？”

这些回答，代表了不同学生在面对问题时不同的思维表现形式，有的是采取“交流方式解决----借助他人已有的东西来满足的需要”；有的是知道自己需要什么，但是不知道怎么才能得到自己想要的，他们从中发现了问题，我顺势又说了一个词“估算”，有尺子的话可以可以尽量准确的测量后，再做计算，得出结果；没有尺子的，可以用借鉴古人的测量方法----步量，我们可以先在教室里同伴之间用自己的直尺测量一下自己跨一步是多长，测量过程中，又出现了“从哪量到哪的”问题，于是我在黑板上画了一条直线，画了三个脚印，当在平面上画出实物图形的时候，不用解释，同学们也就一目了然了。黑板上的图形演示，就是对自己空间概念不清的补充和诠释，很显然学生们已经“心中有数”了。

我趁机又组织了小组交流，交流具体的测量方案和人员配备（记录员、计算员、检验员），我给他们留的时间很充足，各组发言，介绍本组方案，有一个小组做工作很细致周全，他量了本组成员的所有的步长，比较之后，选用了一个最合适的，合适理由是：步长是个整数，计算方便。这就是数学智慧，数学真正的价值在“做”的过程中也体现出来了。我追问了他：“因为步长是整数，猜想一下你们的长和宽就都是整数吗？”他迟疑了一会儿，可能没想那么深，那个步长是整数的同学赶忙应了一句：“我尽量走的标准些，不快不慢，不大不小。”此时全班的同学都笑起来了，我又给了他一句话：“好好练习，争取进入国庆大阅兵的方队里，他们的每一步可真是标准啊，站在那里的每一个人都是无比骄傲的，老师和同学们也期待在不久的将来能看到站在那里的你！”

最后，我安排在明天上课时，各组把结果详尽的写到黑板上，比较分析，谈感受。

我的随想感悟：

其实，数学是过程，是活动，学数学就是“做数学”，而不是“做数学题”，就是去解决一个问题，获得一种体验。这一节课，我相信他们体验到了很多，不仅仅时长方形的面积公式，也不仅仅是用尺子量长度，更不仅仅是知道了操场的大小，他们经历的东西，hi收益一生的，数学教育给他们的是对待问题时的一种思维方式，理性的，建构的，迁移的，这个过程与活动，真正意义上体现了数学课堂的价值和意义，他们也从中学到了有价值的数学，价值就在于能遇到问题、发现问题、解决问题、服务生活。

“做数学”是一种有意义的学习方式，“做数学”的理论基础是建构主义的理论。建构主义学者认为，学习是主体在对现实的特定操作过程中对自己的活动过程的性质反省抽象而产生的，学习数学是一个“做数学”的过程，学生学习数学不仅仅是听，也不仅仅是看，更应该自己动手做，因为“听过会忘”，“看能记住”，“做才能理解”。因此要让学生在“做数学”的过程中去发现数学，了解数学，在“做数学”的过程中认识数学的价值，了解数学的特征，总结数学的规律，发展数学的能力。

《数学文化学》一书中也提到（363-364页）：“如何帮助学生学会思维，也就直接关系到了教学内容的选择、以及具体的教学方法。就后者而言，笔者一位，国内已有实践表明以下的作法是较为可取的，即我们不应以数学思维方法的训练和培养去取代数学基本知识和技能的教学，而应将思维方法的训练和培养渗透于日常的数学教学活动之中，也即应当以思想方法的分析去带动、促进具体数学内容的教学。因为，只有这样，我们才能真正把数学课“讲活”、“讲懂”、“讲深”----所谓“讲活”，是指教师应通过自己的教学活动为学生展现出“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；所谓“讲懂”，是指教师应当帮助学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；最后，所谓“讲深”，则是通过数学教学教师不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生学会数学地思维。“

我把自己的数学教育目标定为：学生学习数学后，能将数学的思想，数学的思维，数学的精神运用到日常生活中去，这样的数学更是有价值的。