（摘自《儿童心理学手册》第六版，第四卷【应用儿童心理学】，第四章【数学思维与学习】）
数字认知
过去几十年里，不同国家公布的数学教育的改革文件，都强调基础数学课程应该注重数字概念和数字能力的发展（1989）。在改革文件中最典型的一个方面就是强调在小学低年级开展数字认知。这一点也不奇怪，因为它代表目前把学习数学作为一种有意义的活动的观点。
McIntosh和Reys这样描述数字认知：
数字认知是指一个人对数字和运算的总体理解，伴随以灵活的方式使用这种理解来作出数学判断和形成运用数字和运算策略的能力和倾向。它反映一种使用数字和量化方法作为交流、处理和诠释信息的手段的倾向和能力。与之相应的是衍生出数字。因为它不仅是有用的，而且是对数学存在固有规律性的预期。
更深入的讨论和分析已经产生了数字认知的基本成分的列表，并对表现出缺乏数字认知的学生进行了描述，以及从心理学的角度对数字认知深入的理论分析。
在对基本数字认知普遍认同的成分的阐明、组织及相互关联性建构的尝试中，由McIntosh等人（1992）提出的模型是最全面最具影响力的。在他们的模型中，他们把数字认知起关键作用的领域分为三个：数字概念、数字运算以及数字和运算的应用。
1.第一部分，“数字的知识和技能”，包括了子技能如：
数字排序的认知能力（“按照某种给定的标准，在一行有空格的数列中标示出一个数字”），数字的多种表示形式(3/4=0.75)，
数字绝对值和绝对值认知（“你已经生活了多于还是少于1 000天？”），
以及一个基准系统（认识到两个两位数的和小于200）。
2.第二部分，叫做“运算的知识和技能”，包括：
理解运算的结果（知道相乘并不总是使数字变大），
了解数学的特性（比如交换性、结合性、分配性和应用这些特性进行心算过程的直观性），
并且了解运算之间的关系（加法与减法、乘法与除法之间的相反关系）来解决像11-9 = 这样的问题，使用间接的加法，或者使用乘法8× =480来解决除法问题480/8。
3.第三部分，“把数字和运算的知识和技能运用到计算情境中”，包括一些子技能，如：
理解问题情境和必要的计算之间的关系的能力（比如“如果Skip花2.88元买苹果，2.38元买香蕉，3.76元买橘子，Skip总共花10元能买这些水果吗？”能够快速而自信地解决这个问题，将三种数量估算而不是准确计算），
对一个既定问题存在多种策略的认识，利用有效的转换或方法的倾向性[解决(375+375+375+375+375)÷5，不是先将5个数字加起来再除以5]，
复查数据和结果的倾向性(有自然检查问题答案的倾向)。
一些研究者已经将儿童遇到的数字认知不同方面的问题归纳汇总。比如，Reys and Yang(1998)调查了台湾六年级和八年级学生的计算成绩和数字认知能力之间的关系。按照这里提到的理论框架，访谈了17名学生的数字认知不同方面的知识。
学生在数字认知上的总体成绩比在需要书面计算的相似问题上的成绩要差。有迹象表明，数字认知的可识别部分，比如基准的使用，被台湾学生很自然地运用到决策之中。
Greeno（1991）根据他的认知情境观对发展数字认知做了下面的隐喻：他把它描述成一个环境，在这个环境中为了知道、理解和推断全部情况，需要在不同地方收集资源。
“在这个领域、在这个观点下，学习与在环境中学习寻找资源、并利用那里的资源有效地指导一个人的活动的道理是相似的。”
由于具备对必要资源的了解，已形成数字认知的人在这个环境中可以行动自如，教学变成了“指出环境中具备哪些资源，从什么地方可获得这些资源，获得的捷径以及值得访问什么样的有趣的场所”。
考虑到学生都是以这种方式获得数字认知概念的，根据Greeno(1991a)、Reys和Yang(1998)以及其他许多人的论证，数字认知的发展“不是学生有或没有的一个有限的实体，而是学生随着经验和知识的积累,发展和成熟的一个过程”。这一发展发生在以每天每一节的数学课为基础的数学活动的整个范围内，而不是在指定的或特别设计的活动范围内发生。
根据很多作者的论述，估算与数字认知（或计算能力）有密切的联系。
比如Van关于估算的专题论文是这样开头的：
“估算是计算能力的基础之一，它是一种出色的计算方式，以这种方式展现出来的计算能力是显而易见的一种数学能力。”
估算除了广泛存在于儿童和成人的日常生活外，估算也因为它与数学能力的其他概念、步骤、策略和态度方面相关且是其组成部分而显示出其重要性（1992，2001）。在Sowder对直到20世纪90年代早期文献的回顾中，他区分了估算的三种形式：
计算估算（用心算对所需要计算的原始数据的大致估计）；
测量估算（估计长度和房间面积）；
数字估算（估计一个空间中的数量单位，比如剧院中的人数）。
在近期的文献中，Siegler和Booth确认了第四种估算，数字线估算（把数字转换成数字线上的位置，比如0-100或者1-1 000的数字线）。
所有这些估算的种类，在早一些的或最近的研究工作中都表明，儿童与成人都能够使用多种估算策略，并且这些策略的种类、效率、复杂性和适用性随着年龄和经验而增加。因此说，估算是一个整合了数学倾向所有方面的领域。
前面的讨论清楚地表明，数字认知倾向的自然属性，不仅包括能力方面，而且包括倾向性和敏感性；这说明数字认知仍然是一个模糊的概念，并且它与算术能力的其他方面的关系需要进一步澄清。就像在NCTM（1989）的《学校数学课程和评价标准》中陈述的那样，数字认知是“从数字的各种含义中得到的对数字的直觉”。当今，在数学教育中，普遍承认了这种直觉的重要性。
虽然如此，但很难定义，甚至更难在研究上进行操作。最近出现了大量的或多或少相关的术语，比如“数学计算”和“数学读写能力”，也很少有确切的界定。事实上，在我们遇到的很多事件中，数字认知被定义得如此广泛，以至于包括问题解决，（而且即便不包括所有）也包含了构成数学倾向大部分的其他能力(McIntosh，1992)。虽然我们承认数字认知在课程改革中的力量，我们还是有一些怀疑，它对科学研究的用途，除非能更清楚一致地明确表达它的特殊意义。
