凸优化笔记3-仿射集、仿射组合、仿射包

直线

$x_1 \neq x_2 \in R^n,\theta \in R$
$y = \theta x_1 + (1-\theta )x_2 = x_2 + \theta (x_1 - x_2)$

线段

$x_1 \neq x_2 \in R^n,\theta \in [0,1]$
$y = \theta x_1 + (1-\theta )x_2 = x_2 + \theta (x_1 - x_2)$

仿射集（affine sets）

定义：一个集合C是仿射集，若 $\forall x_1,x_2 \in C$ ，则连接 $x_1,x_2$ 的直线也在集合内。
$\forall x_1,x_2 \in C ,\theta \in R$
$y = \theta x_1 + (1-\theta )x_2 \in C$

仿射组合

设 $x_1,...x_k \in C , \theta _1,...,\theta _k \in R,\theta _1 + ...+\theta _k =1$
$\theta _1x_1+...+\theta _kx_k$

如果一个集合C是仿射集，则它的任意仿射组合都属于C。

跟C相关的子空间

$V = \left \{ x - x_0 | x \in C\right \},\forall x_0$

$\forall x_1,x_2 \in V, \alpha ,\beta \in R \Rightarrow \alpha x_1 + \beta x_2 \in V$

(仿射集要求 $\alpha + \beta = 1$ ,跟C相关的子空间V： $\alpha \in R, \beta \in R$ )

仿射包

aff $C = \left \{ \theta _1 x_1 + ... \theta _kx_k | \forall x_1,...,x_k \in C, \forall \theta _1+...+ \theta _k = 1 \right \}$

(即对任意集合C，构造尽可能小的仿射集)

例:

线性方程组的解集是仿射集

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仿射包

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