原创15:二次根式2

记北师版八上数学教材第二章第7节第2课时

本课基于二次根式的性质得到二次根式乘除法法则,再合情推导出加减运算法则,进而利用它们进行二次根式的运算。

一、复习引入

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意图:回顾二次根式的定义和性质,通过简单练习再次体会由√ab到√a√b,可以实现二次根式的化简。

问题:√ab=√a√b是一个等式,从左到右可以理解为二次根式的性质,那么从右到左,由√a√b到√ab,有什么意义呢?

意图:体会二次根式的乘除法法则源于二次根式的性质。

二、新课讲授

1.二次根式乘除法

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例题

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意图:体会在二次根式乘除法运算中运用法则后,原被开方数之间乘除,再求算术平方根并使结果最简。特别地,当原式中含有除法运算时,通过约分可以简化数字。

习题训练

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值得一提的是:对于习题(3),学生有三种做法。

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方法一:学生通过前一课的学习已经明白3√2中3与√2是相乘关系, 结合本课所学,想到把3写成√9,2写成√4 ,再用二次根式的乘法法则将所有的被开方数乘在一起,再化简。

教师提出问题:本题当中把所有的被开方数乘在一起不能约分,数字更大,不便于最终化简,还能怎么做?

方法二:有学生想到把√9和√4结合,得√36等于6,再与(√3×√2)相乘。

教师再问:方法二相比方法一,计算量是小了一些。但是把原来的3和2转化成√9和√4,再由√36开出来得6, 这“一进一出”是不是有点多余?还能怎么做?

方法三:学生立即想到,在原式3√2×2√3中,直接把3与2结合, √2与√3结合,很快得出答案。

教师反思:本题为一道课本原题。课本上直接给出了方法三的解法。但在实际教学中,对学生而言,要从3√2×2√3中,直接看出把3与2结合, √2与√3结合,思维的跨度还是比较大的。这里要求:1.明确倍数与根号之间的相乘关系;2.能区别倍数与根号,想到将被数与根号“物以类聚”;3.想到运用乘法的交换律结合律简化运算。课堂上的三种解法,纯属意外生成,可谓“意外惊喜”。三种方法,层层递进,暴露出学生思维中的一些误区,同时在方法优化的过程中,引发学生思考——如:被开方数要不要太大?“一进一出”是否应该?这些都是学生今后做题时的宝贵经验。

教师再问:想一想,类似上面倍数乘倍数,根号乘根号的方法,我们之前接触过吗?

有学生想到单项式乘单项式——数字乘数字,字母乘字母。教师予以肯定。

2.二次根式的加减法

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意图:通过适当的题组设计,使学生明确在二次根式的加减法当中:运算中出现某些项,如果它们化简后的被开方数相同,称为“同类二次根式”,那么可以将这些项合并;否则,不能合并。

说明:

(1)对于√3+√2,引导学生想象两个无限不循环小数相加,结果无法更简洁、准确地表示,故结果就记作√3+√2.

(2)对于√2+√2, 虽然还是两个无限不循环小数相加,但由于两个加数相同,考虑a+a=2a,因此把结果记作 2√2.其他类似。

(3)对于同类二次根式,合并时,根号和被开方数不变,倍数相加。类比合并同类项法则:字母和字母的指数不变,系数相加。某种角度而言,同类二次根式是一种“广义同类项”。

例题及习题

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3.二次根式的加减乘除混合运算。

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课堂板书:

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