图像频域变换的意义

1）利用频率成分和图像外表之间的对应关系，使一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。

2）图像的变换过程可类比于数学上去相关处理，在空域相互交叉难以描述的特征，在频域往往得到更为直观的表达、分离甚至集中。

3）图像的滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波难以解释的某些性质。

4）理论上可以在频率域指定滤波器，通过反变换，以其空域响应作为构建空间域滤波器的指导。

5）一旦通过频率域试验选择了空间滤波，具体实施可在空间域进行。

频域变换的理论基础

线性系统

系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。

图2.1 系统示例

线性系统的定义：对于某特定系统，有：

$x1(t)\to y1(t)\\x2(t)\to y2(t)$

该系统是线性的当且仅当：

$\\x1(t)+x2(t)\to y1(t)+y2(t)$

从而有： $\\a\cdot x1(t)\to a\cdot y1(t)$

线性系统移不变性的定义——对于某线性系统，有： $x(t)\to y(t)$ ，当输入信号沿时间轴平移T，有： $x(t-T) \to y(t-T)$ ，则称该线性系统具有移不变性。

卷积与相关

卷积的定义：对于一个线性系统的输入f(t)和输出y(t)，其间必定存在关系：

$\\y(t)=f(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau$

h(t)称为线性系统的单位冲激响应函数，其含义为：当线性系统输入f(t)为单位脉冲函数时，线性系统的输出响应。上式称之为卷积积分。

脉冲函数的定义：也叫 $\delta$ 函数

$\\\begin{array}{1}&\delta(t-t_0)=0,\quad t\neq t_0\\&\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)dt=1\end{array}$

脉冲函数的极限定义：脉冲函数可以看成是一系列函数的极限，这些函数的振幅逐渐增大，持续时间逐渐减少，而保持面积不变。

图2.2 脉冲函数示例

离散一维卷积：

$\\y(i)=f(i)*h(i)=\sum_jf(j)h(i-j)$

二维卷积的定义：

$\\y(x,y)=f*h=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(i,j)h(x-i,y-j)didj$

离散二维卷积：

$\\y(x,y)=f*h=\sum_i\sum_jf(i,j)h(x-i,y-j)$

相关的定义——任意两个信号的相关函数定义为：

$\\R_{fg}(t)=f(t)\bullet g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t+\tau)d\tau$

正交变换及其特征

连续函数集合的正交性——正交函数集合 $U=\{u_0(t),u_1(t),\cdots\}$ ：

$\\\int_{t_0}^{t_0+T}u_m(t)u_n(t)dt=\left\{ \begin{array}{2}C \quad &if\ m=n \\0 &其他\end{array} \right.$

当C=1时，称集合为归一化正交函数集合，即每一个向量为单位向量。其物理意义为多维空间坐标的基轴方向互相正交。

正交函数集合的完备性——若f(x)是定义在 $t_0$ 和 $t_0+T$ 区间的实值信号，平方可积。可以表示为：

$\\f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nu_n(x)$

对任意小的 $\varepsilon >0$ ，存在充分大的N，用N个有限展开式估计f(x)时：

$\\\hat{f}(x)=\sum_{n=0}^{N-1}a_nu_n(x)$

可有：

$\\\int_{t_0}^{t_0+T}\vert f(x)-\hat{f}(x)\vert ^2dx<\varepsilon$

则称函数集合U是完备的。

正交函数的离散情况。N个正交向量：

$\\a1=\left[\begin{matrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{n1}\end{matrix}\right],\quad a_2=\left[\begin{matrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{n2}\end{matrix}\right],\quad \cdots,\quad a_n=\left[\begin{matrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{nn}\end{matrix}\right]$

$\\\sum_{k=1}^na_{ki}a_{kj} =\left\{\begin{array}{1}C\quad &i=j\\0&i\neq j\end{array} \right.$

当C=1时，称归一化正交。

N个正交向量矩阵：

$\\A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\\vdots&\vdots&&\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right]$

必满足： $A^TA=AA^T=I（I为单位矩阵）$ 。

一维正交变换——对于一维向量f，用上述正交矩阵进行运算： $g=Af$ ；若要恢复f，则 $f=A^{-1}g=A^Tg$ 。

以上过程称为正交变换。

一般范式——酉变换（unitary transform）：若A为复数矩阵，正交的条件为： $A^{-1}=A^{*T}$ 。其中 $A^*$ 为 $A$ 的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉矩阵（unitary matrix）。对于任意向量f的运算称为酉变换：

$\\\begin{array}{1}&g=Af \quad &g(k)=\sum_{n=0}^{N-1}a(k,n)f(n)\\&f=A^{*T}g &f(n)=\sum_{k=0}^{N-1}a^*(k,n)g(k)\end{array}$

酉变换、正交变换与信号分析——正交变换是酉变换的特例；它们都可以用于信号分析；用于信号分析的基函数集合和正交矩阵都应满足正交性和完备性。

二维酉变换—— $N\times N$ 二维函数可以类似于一维用正交序列展开和恢复：

$\\\begin{array}{1}&F(u,v)=\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)a_{u,v}(x,y) \quad &0\leq u,v\leq N \\&f(x,y)=\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)a_{u,v}^*(x,y) &0\leq x,y\leq N\end{array}$

上式中，上面的被称为正变换核，下面的被称为反变换核。

变换核的可分离性：

$\\a_{u,v}(x,y)=a_u(x)b_v(y)\Rightarrow a(u,x)b(v,y)$

其中 $\{ a_u(x),\quad u=0,1,\cdots,N-1\},\{ b_v(y),\quad v=0,1,\cdots,N-1\}$ 为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：

$\\A=\{ a(u,x)\},\quad B=\{ b(v,y)\}$

通常选择 $A=B$ 。当此时，二维酉变换正变换表示为：

$\\F(u,v)=\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{n-1}a(u,x)f(x,y)a(v,y)$

用矩阵表示： $F=AfA^T$ 。类似地，对于 $M\times N$ 的二维函数f(x,y):

$\\\begin{array}{1}&F=A_Mf_{MN}A_N^T\\&f=A_M^*F_{MN}A_N^{*T}\end{array}$

基图像——对反变换 $f(x,y)=\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)a_{u,v}^* (x,y) \quad0\leq x,y\leq N$ ： $a_{u,v}^*(x,y)$ 可看成是基图像， $F(u,v)$ 则是权因子。图像 $f(x,y)$ 可以用 $N^2$ 个基图像的加权和来表示。

酉变换的性质——1）酉矩阵是正交阵： $AA^{*T}=A^{*T}A=I_{N\times N}$ ；2） $A$ 为酉阵，则 $A^{-1}$ 和 $A^T$ 都是酉阵；3）酉变换是能量保持的变换：对于一维酉变换 $F=Af$ ，有 $||F||=||f||$ ；二维情况下，则有： $\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}|F(u,v)|^2=\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}|f(x,y)|^2$ ；4）酉变换能量的紧缩：正交酉变换往往趋于将信号能量压缩到相对少的变换系数中，由于总能量保持不变，因此许多变换函数将包含很少的能量（K-L变换可以达到最大的能量紧缩）；5）酉变换去相关：当输入向量元素间高度相关时，变换系数趋向于去相关，这意味着协方差矩阵的非对角项和对角项相比趋于变小（K-L变换可以得到完全的去相关）；6）均值和方差：设 $f(x,y)$ 的均值和协方差为 $\mu_f$ 和 $\sum\nolimits_f$ ，则 $F(u,v)$ 的均值为：

$\\\mu_F=E(Af)=AE(f)=A\mu_f$

则 $F(u,v)$ 的协方差为：

$\\\begin{array}{1}\sum\nolimits_F &=E\{ (F-\mu_F)(F-\mu_F)^{*T}\}\\&=AE\{ (f-\mu_f)(f-\mu_f)^{*T}\}\\&=A\sum\nolimits_fA^{*T}\end{array}$

7）其他性质：a） $A$ 为酉阵，则其行列式值为 $|A|=1$ ；b）若a为向量，则作酉变换后向量模保持不变： $b=Aa$ ，则 $|b|=|a|$ 。

一个例子——给定正交矩阵A和图像U， $A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right]$ ， $U=\left[\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right]$ ，求：图像U经变换A后的变换图像V。可有：

$\\[V]=[A][U][A]=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}5&-1\\-2&0\end{matrix}\right]$

反变换为：

$\\[U]=[A^{*T}][V][A^*]=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}5&-1\\-2&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right]$

变换 $A$ 的基图像 $A^{*T}$ 为 $A$ 的各列向量的外积（向量积）：

$\\\begin{array}{2}A_{00}^*&=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&1\end{matrix}\right]&=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1&1\\1&1 \end{matrix}\right],\\A_{11}^*&=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&-1\end{matrix}\right]&=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1&-1\\-1&1 \end{matrix}\right],\\A_{01}^*&=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&-1\end{matrix}\right]&=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1&-1\\1&-1 \end{matrix}\right],\\A_{10}^*&=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&1\end{matrix}\right]&=\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}1&1\\-1&-1 \end{matrix}\right].\end{array}$

离散图像的正交变换

什么是图像变换——1）将图像看成是线性叠加系统；2）图像在空域上具有很强的相关性；3）图像变换是将图像从空域变换到其他域如频域的数学变换；4）借助于正交变换的特性可使在空域上的复杂计算转换到频域后得到简化；5）借助于频域特性的分析，将更有利于获得图像的各种特性和进行特殊处理。

可进行图像变换的基本条件——1）满足正交、完备两个条件的函数集合或矩阵才能用于图像的分析；2）常用的几种变换：傅立叶变换、WALSH变换、哈达玛变换、Haar变换、SLANT变换、K-L变换以及特定条件下的CONSINE变换、SINE变换等，都满足正交性和完备性两个条件。

离散图像的正交变换为图像信号在一组二维离散完备正交基上的展开，这种正交基展开具有无损重构的性质，以及图像能量的集中和图像信号元素的去相关性能，在图像处理中具有重要的作用。

若离散图像f(m,n)及其在离散完备正交基{a(u,v;m,n)}上的展开系数为g(u,v)，即：

$\\g(u,v)=\sum_{m=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)a(u,v;m,n)\\ f(m,n)=\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}g(u,v)a^*(u,v;m,n)$

离散图像正交变换的特性——1）二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的正交性，满足 $\\\sum_{m=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}a(u,v;m,n)a^*(u^{’},v^{’};m,n)=\delta(u-u^{’},v-v^{’})$

正交性保证变换后图像的紧缩性、图像的去相关性及任何被截断的级数展开将使均方误差和为最小。2）二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的完备性，满足 $\\\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}a(u,v;m,n)a^*(u,v;m^{’},n^{’})=\delta(m-m^{’},n-n^{’})$

三、图像的频域变换——理论基础