傅里叶变换推导

1. 函数內积

将函数 $f(x)$ 在其定义域 $\Omega$ 中，按 $dx$ 切分后，看做无限维的向量(希尔伯特空间)。
则其模平方为 $|f(x)|^2=\int_{\Omega}{f(x)\overline{f(x)}}dx$
参照有限维度向量內积的定义，函数內积定义为 $<f(x),g(x)>=\int_{\Omega}{f(x)\overline{g(x)}}dx$

內积定义的推导

通过向量到向量的投影垂线最短来验证內积。不妨限定在实数域，设 $f$ 在 $g$ 上的投影为 $cg$ ，则垂线长度平方为 $D=\int{(f-cg)^2}dx$ ，令 $\frac{dD}{dc}=\int{(2cg^2-2fg)}dx=0$ 可得 $c=\frac{\int{fg}dx}{\int{g^2}dx}$ ，从而 $<f,g>=<cg,g>=\int{cg^2}dx=\int{fg}dx$

函数正交

$\int_{\Omega}{f(x)\overline{g(x)}}dx=0$

可以验证 $\{e^{inx},n\in{N}\}$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上为正交函数系

2. ${\cal F}$ 变换

周期函数的 ${\cal F}$ 变换

由 $\{e^{i\frac{2{\pi}n}{T}x},n\in{N}\}$ 为正交函数系，所有函数皆可表示为 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{c_ne^{i\frac{2{\pi}n}{T}x}}$ ，其中 $c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(x)e^{-i\frac{2{\pi}n}{T}x}}dx$

非周期函数的 ${\cal F}$ 变换

非周期函数可以看成 $T\to\infty$ 的周期函数。

因为 $c_n$ 在 $T\to\infty$ 时为0
$\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(x)e^{-i\frac{2{\pi}n}{T}x}}dx \leq \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{|f(x)||e^{-i\frac{2{\pi}n}{T}x}|}dx = \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{|f(x)|}dx = 0$
所以，可将傅里叶级数的系数改为 $c_nT$ 。

令 $\omega=\frac{2{\pi}n}{T}$ ，当 $T\to\infty$ 时， $\omega$ 将随着 $n$ 连续变化，且有 $d\omega=2\pi\frac{dn}{T}=2\pi\frac{1}{T}$ ，即 $\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}d\omega$ 。

于是，以 $e^{i\omega t}$ 为基底， $c_\omega$ 为系数，令 ${\mathcal{F}}(\omega)=c_\omega T$ ，有
$f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}c_\omega e^{i\omega t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\mathcal{F}}(\omega)e^{i\omega t}d\omega \\ {\mathcal{F}}(\omega)=\lim_{T\to \infty}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(x)e^{-i\frac{2{\pi}n}{T}x}}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$
可得结论
${\cal F}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$ $f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{\cal F}(\omega)e^{i\omega t}d\omega$