Sobolev紧嵌入

这篇笔记整理一下紧嵌入定理的证明, 试图尽量干净地处理这件事情. 主要参考的是Adams的书和Evans的书.
我们首先不加说明地引入 $\mathbb{R}^d$ 上的磨光函数 $\alpha$ 和磨光函数族 $\{\alpha_\varepsilon\}$ , 以及平移算子 $\tau_hu(x)=u(x-h)$ , 然后叙述一个引理.

引理1. 设 $1\le p<\infty$ , 则对任何 $u\in L^p(\mathbb{R}^d)$ , 有 $\|\alpha_\varepsilon\ast u-u\|_p\le\sup_{|h|<\varepsilon}\|\tau_hu-u\|_p$
证明. $p>1$ 时, 直接计算:
$\|\alpha_\varepsilon\ast u-u\|_p=\left(\int_{\mathbb{R}^d}\left|\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\right)^{1/p}$
$\le\left(\int_{\mathbb{R}^d}\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)^{1/p'}\alpha_\varepsilon(y)^{1/p}|u(x-y)-u(x)|dy\right)^pdx\right)^{1/p}$
$\le\left(\int_{\mathbb{R}^d}\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)dy\right)^{p/p'}\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\right)^{1/p}$
$=\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)\int_{\mathbb{R}^d}|\tau_yu(x)-u(x)|^pdxdy\right)^{1/p}$
$\le\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)\sup_{|y|<\varepsilon}\|\tau_yu-u\|_p^pdy\right)^{1/p}=\sup_{|y|<\varepsilon}\|\tau_yu-u\|_p$
$p=1$ 的情形是完全类似的, 甚至更容易, 不需要用到Holder不等式. $\rule{3mm}{3mm}$

接下来我们设 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 是有界区域(即连通开集), 我们需要考察 $L^p(\Omega)$ 中的列紧集(这里列紧的定义按张恭庆的书, 也即Rudin和Adams的书中的准紧)是什么样的. 我们用下面的引理刻画这些集合.

引理2. 设 $1\le p<\infty$ . 对 $\Omega$ 上的函数 $u$ , 定义 $\tilde u$ 为它在 $\mathbb{R}^d$ 上的零延拓. 则有界子集 $K\subset L^p(\Omega)$ 是列紧集当且仅当对任何 $\varepsilon>0$ , 存在着一个 $\delta>0$ 使得对任何 $u\in K$ 有 $\sup_{|h|<\delta}\|\tau_h\tilde u-\tilde u\|_p<\varepsilon$ .
证明. 先证明必要性. 设 $K$ 是列紧的, 则 $\tilde K=\{\tilde u|u\in K\}\subset L^p(\mathbb{R}^d)$ 也是列紧的. 固定 $\varepsilon>0$ , 存在着 $\tilde K$ 的有限 $\varepsilon/6$ 网 $\{\psi_k\}_{k=1}^n\subset L^p(\Omega)$ . 由于 $C_c(\mathbb{R}^d)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 中稠密, 故存在 $\{\phi_k\}_{k=1}^n\subset C_c(\mathbb{R}^d)$ 使得 $\|\phi_k-\psi_k\|_p<\varepsilon/6$ , 如此一来 $\{\phi_k\}$ 是 $\tilde K$ 的 $\varepsilon/3$ 网.
显然(证明略)存在着 $\delta>0$ 使得 $\forall k$ , $\sup_{|h|<\delta}\|\tau_h\phi_k-\phi_k\|_p<\varepsilon/6$ . 那么对任何 $\tilde u\in \tilde K$ , 存在 $\phi_k$ 使得 $\|u-\phi_k\|_p<\varepsilon/3$ , 从而 $\forall h(|h|<\delta)$ , 有
$\|\tau_h\tilde u-\tilde u\|_p\le\|\tau_h\tilde u-\tau_h\phi_k\|_p+\|\tau_h\phi_k-\phi_k\|_p+\|\phi_k-\tilde u\|_p$
$<\varepsilon/3+\varepsilon/6+\varepsilon/3<5\varepsilon/6$
从而 $\sup_{|h|<\delta}\|\tau_h\tilde u-\tilde u\|_p\le5\varepsilon/6<\varepsilon$ .
再证充分性. 为此任意固定 $\varepsilon>0,$ 我们需要找列紧的 $\varepsilon$ 网. 事实上, 我们取 $\delta>0$ 使得 $\forall u\in K$ , $\sup_{|h|<\delta}\|\tau_h\tilde u-\tilde u\|_p<\varepsilon$ , 然后考虑集合 $\tilde S=\{\alpha_\delta\ast\tilde u|u\in K \}\subset C_c(\mathbb{R}^d)\cap L^p(\mathbb{R}^d)$ , 由引理1知这是 $\tilde K$ 的一个 $\varepsilon$ 网, $\tilde S$ 中的函数在 $\Omega$ 上的限制 $S=\{f|_\Omega:f\in\tilde S \}$ 也是 $K$ 的 $\varepsilon$ 网. 然后我们需要说明 $S$ 在 $L^p(\Omega)$ 中是列紧的. 注意到 $\|\alpha_\delta\ast\tilde u\|_\infty\le\|\alpha_\delta\|_{p'}\|\tilde u\|_{p}\le C$ , $\|\partial(\alpha_\delta\ast\tilde u)\|_\infty\le\|\partial\alpha_\delta\|_{p'}\|\tilde u\|_p\le C$ , 从而 $\{\alpha_\delta\ast\tilde u \}$ 在 $C(\mathbb{R}^d)$ 中有界并且等度连续, 从而在 $C(\overline\Omega)$ 中列紧, 从而在 $L^p(\Omega)$ 中列紧. $\rule{3mm}{3mm}$

我们还需要一个引理.
引理3. 设 $1\le p<\infty$ , $u\in H^{1,p}(\mathbb{R}^d)$ , 则 $\|\tau_hu-u\|_p\le|h|\|\partial u\|_p$ .
证明. 先考虑 $u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 的情形. 此时
$\|\tau_hu-u\|_p=$

最后编辑于：2019.12.14 21:08:59