前修知识：高等代数、分析力学基础（第二类拉格朗日方程）

参考：机器人工程 / [日]白井良明编著；王棣棠译. 北京：科学出版社.2001.

本部分的研究对象为串联式机械臂，尤其是平面二自由度和平面三自由度的机械臂。

多体系统描述：齐次变换矩阵法

对于第一次听说齐次变换的同学来说，的确不容易理解其中的来龙去脉。本文以机械臂为载体详细叙述其来源。

1. 姿态变换矩阵

姿态变换矩阵是描述坐标系旋转变换的矩阵。若考虑平移，仅仅在加一个向量即可。

固定坐标系与手爪坐标系

1. ：固定坐标系，基准坐标系，固定在基座上。
2. ：手爪坐标系，固定在手爪上。

手爪的位置和姿态可以通过以下的物理量表示：

1. ：从指向的位置向量。约定：右下角标表示所要表示的对象的名称。
2. ：到的变换矩阵。约定：左上角表示所用的基底所在坐标系。

依据线性变换的几何意义，姿态变换矩阵各列向量即为变换后的空间的基底在原空间的坐标。即：
这是姿态变换矩阵的最终形式，该矩阵是正交阵。但该变换矩阵具体如何体现机械臂的位置参量，还须进一步讨论。

2. 齐次变换矩阵

二维问题的坐标系

与之间的变换关系可由下向量式表示：

可以看出，该变换由旋转和平移组成。即定轴转动和平动组合成平面运动。然而我们更喜欢直接用矩阵乘法来对某个对象进行变换操作，这是符合计算机程序设计要求的。因此，数学家想到了矩阵的分块：

该式即为齐次变换式，矩阵称为齐次变换矩阵。对于2维空间的齐次变换，变换矩阵为；对于3维空间，齐次变换矩阵为。

多刚体动力学描述：牛顿-欧拉法 vs 拉格朗日法

1. 牛顿欧拉法

2. 拉格朗日法